Sửa đề:

E = (2x - y)² + (3x + y)² + 2(2x - y)(3x + y) + 25(1 + x)(1 - x)

= (2x - y + 3x + y)² + 25 - 25x²

= (5x)² + 25 - 25x²

= 25x² + 25 - 25x²

= 25

Vậy giá trị của E không phụ thuộc vào giá trị của x và y

3\(x\)(- \(\dfrac{4}{3}\)\(x\) + 1) - 4\(x\).(\(x\) - 2) = 10

-4\(x^2\) + 3\(x\) - 4\(x^2\) + 3\(x\) + 8\(x\) = 10

-8\(x^2\) + 14\(x\) - 10 = 0

4\(x^2\) + 7\(x\) - 5 = 0

4.(\(x^2\) + 2.\(\dfrac{7}{8}\) + \(\dfrac{49}{64}\)) - \(\dfrac{129}{16}\) = 0

4.(\(x\) + \(\dfrac{7}{8}\))²  = \(\dfrac{129}{16}\)

   (\(x\) + \(\dfrac{7}{8}\))² =  \(\dfrac{129}{16}\)

    \(x\)           = \(\dfrac{\pm\sqrt{129}-7}{8}\)

(x-2)(2x+1)+x(1-2x)

= 2x^2 - 4x + x - 2 + x - 2x^2

= -2x - 2

\(x\left(x-2023\right)-x+2023=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2023\right)-\left(x-2023\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2023\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-2023=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2023\end{matrix}\right.\)

 a) Do H và K đối xứng nhau qua I

⇒ I là trung điểm của HK

Do AH là đường cao của ∆ABC

⇒ AH ⊥ BC

⇒ ∠AHB = 90⁰

Tứ giác AHBK có:

I là trung điểm HK (cmt)

I là trung điểm AB (gt)

⇒ AHBK là hình bình hành

Mà ∠AHB = 90⁰ (cmt)

⇒ AHBK là hình chữ nhật

b) ∆ABC cân tại A (gt)

AH là đường cao

⇒ AH cũng là đường trung tuyến của ∆ABC

⇒ H là trung điểm BC

Mà I là trung điểm AB (gt)

⇒ HI là đường trung bình của ∆ABC

⇒ HI // AC

Tứ giác ACHI có:

HI // AC (cmt)

⇒ ACHI là hình thang

c) ∆ABC đều

⇒ ∠BAC = ∠ACB = 60⁰

⇒ ∠IAC = ∠ACH = 60⁰

Mà ACHI là hình thang (cmt)

⇒ ACHI là hình thang cân

 Sửa đề:

a) Chứng minh tứ giác BMDC là hình bình hành

b) Tứ giác AMCD là hình gì? Vì sao?

GIẢI

a) Do M là trung điểm AB

N là trung điểm AC

⇒ MN là đường trung bình của ∆ABC

⇒ MN // BC và MN = BC : 2

Do MN // BC (cmt)

⇒ MD // BC

Ta có:

ND = NM (gt)

⇒ MN = MD : 2

Mà MN = BC : 2 (cmt)

⇒ MD = BC

Tứ giác BMDC có:

MD // BC (cmt)

MD = BC (cmt)

⇒ BMDC là hình bình hành

b) Do BMDC là hình bình hành (cmt)

⇒ BM // CD và BM = CD

⇒ AM // CD

Lại có:

M là trung điểm của AB (gt)

⇒ AM = BM = AB : 2

Mà BM = CD (cmt)

⇒ AM = CD

Tứ giác AMCD có:

AM // CD (cmt)

AM = CD (cmt)

⇒ AMCD là hình bình hành

a) Do AH là đường cao của ∆ABC

⇒ AH ⊥ BC

⇒ ∠AHC = 90⁰

Tứ giác AHCE có:

D là trung điểm AC (gt)

D là trung điểm HE (gt)

⇒ AHCE là hình bình hành

Mà ∠AHC = 90⁰ (cmt)

⇒ AHCE là hình chữ nhật

b) Do AHCE là hình chữ nhật (cmt)

⇒ AE // HC

⇒ AE // HI

Tứ giác AEIH có:

AE // HI (cmt)

AI // HE (gt)

⇒ AEIH là hình bình hành

c) Do AHCE là hình chữ nhật (cmt)

⇒ AC = HE

Do AEIH là hình bình hành (cmt)

⇒ HE = AI

⇒ AC = AI

⇒ ∆ACI cân tại A

Lại có:

AH ⊥ BC (cmt)

⇒ AH ⊥ CI

AH là đường cao của ∆ACI

⇒ AH cũng là đường trung tuyến của ∆ACI

⇒ H là trung điểm của CI

Do HA = HK (gt)

⇒ H là trung điểm của AK

Do AH ⊥ CI (cmt)

⇒ AH ⊥ CK

Tứ giác ACKI có:

H là trung điểm CI (cmt)

H là trung điểm của AK (cmt)

⇒ ACKI là hình bình hành

Mà AK ⊥ CI (cmt)

⇒ ACKI là hình thoi

⇒ AK là tia phân giác của ∠IAC

d) Để CAIK là hình vuông thì AC ⊥ AI

Mà AC ⊥ AB và AC = AI

⇒ AC = AB (B ≡ I)

⇒ ∆ABC vuông cân tại A

⇒ AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của ∆ABC

⇒ AH = HC = BC : 2

Mà tứ giác AHCE là hình chữ nhật có AH = HC

⇒ AHCE là hình vuông