Ta có a, b , c là 3 cạnh của 1 tam giác 

=> Đặt: z = a + b - c > 0 ; x = b + c - a> 0  ; y = a + c - b>0 

khi đó: x + y + z = a + b + c

và \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)

Để chứng minh: \(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)(1)

Ta cần chứng minh: 

\(\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{4z}+\frac{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}\ge x+y+z\)

<=> \(\frac{xy+xz+zy+x^2}{z}+\frac{yz+x^2+yx+xz}{x}+\frac{xz+xy+y^2+yz}{y}\ge4\left(x+y+z\right)\)

<=> \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)(2) 

Ta có: \(\frac{\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2}{3}\ge\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}+\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}+\frac{zx}{y}.\frac{xy}{z}\)

\(=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x; y ; z 

<=> \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\) với mọi x; y ; z dương 

Vậy (2) đúng do đó (1) đúng,

Nguyễn Linh Chi  hỏi nhé : nếu x + y + z  thì phải = 2 ( a + b + c ) chứ

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Đặt \(S=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)

Ta dễ có

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

Sử dụng phép tương tự khi đó:

\(S\le\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(=3\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

ưcqqq4ec2nrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrtv

khó vậy

\(B=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Dễ có:\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\le\left(\frac{3+a+b+c}{3}\right)^3\le8\)

Khi đó \(B\ge\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1

\(x^2=y\left(y+1\right)\left(y+2\right)\left(y+3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2=\left(y^2+3y\right)\left(y^2+3y+2\right)\)

Đặt \(y^2+3y=t\Rightarrow x^2=t\left(t+2\right)\Leftrightarrow x^2-\left(t^2+2t+1\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(t+1\right)^2=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-t-1\right)\left(x+t+1\right)=-1\)

Xét ước thông thường ;)

Thiếu dữ kiện nha !!

https://olm.vn/hoi-dap/detail/258469425824.html . Bạn tham khảo link này

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta có : 

\(A=\frac{a}{16}+\frac{1}{a}+\frac{15a}{16}\ge2\sqrt[2]{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}+\frac{60}{16}=\frac{17}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=4\)

Vậy \(Min_A=\frac{17}{4}\)khi \(a=4\)

1) \(A=\frac{a}{16}+\frac{1}{a}+\frac{15a}{16}\ge2\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}+\frac{15.4}{16}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = 4 

Vậy min A = 17/4 tại a = 4

2) \(B=3x+\frac{16}{x^3}=x+x+x+\frac{16}{x^3}\ge4\sqrt[4]{x.x.x.\frac{16}{x^3}}=8\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 2

Vậy min B = 8 tại x = 2

3) 0<x<2 tìm min \(C=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}\)

Ta có: \(C=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\ge2\sqrt{\frac{9x}{2-x}.\frac{2-x}{x}}+1=7\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 1/2  thỏa mãn

Vậy min C = 7 đạt tại x = 1/2