Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

\(\frac{a}{a+1}=1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

tương tự ta có

 \(\frac{b}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}};\frac{c}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

khi đó ta được

\(\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{\left(c+1\right)\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\Rightarrow ab\ge\frac{4.\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}{c+1}\)

Áp dụng tương tự ta được\(bc\ge\frac{4.\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{a+1};ca\ge\frac{4.\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}{b+1}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 

\(ab+bc+ca\ge\frac{4.\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}{c+1}+\frac{4.\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{a+1}+\frac{4.\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}{b+1}\)

mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có

\(\frac{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}{c+1}+\frac{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{a+1}+\frac{\sqrt{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}{b+1}\ge3\)

suy ra \(ab+bc+ca\ge12\)vậy bất đẳng thức được chứng minh 

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\)

Đây là theo cách giải của mik nha:

lấy A.B = 2^(4n+2)+1 = 4.16^n+1
Mà 16^n luôn có đuôi bằng 6 hoặc 1 (khi n=0) với mọi n
=> 4.16^n luôn có đuôi bằng 4
=> A.B luôn có đuôi bằng 5
=> ĐPCM

Ta có:

A.B=2^(4n+2) + 1=2^(4n).2^(2) + 1=16^(n).4 + 1. Dễ dàng nhận thấy 16^n luôn có tận cùng bằng 6 => 16^(n).4 có tận cùng bằng 4=> 16^(n).4 + 1 có tận cùng bằng 5, chia hết cho 5 => Ít nhất có 1 số A hoặc B chia hết cho 5. Mặt khác A - B= 2.2^(n+1) = 2^(2n+1), ko chia hết cho 5 với mọi n => A và B ko thể đồng thời chia hết cho 5. Kết hợp => Đpcm.

Ta có:\(\left(\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)^2\)=

=\(4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}+2.\sqrt{\left(4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right).\left(4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)}+\)\(4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}\)

=\(8\)\(+2.\sqrt{16-10-2\sqrt{5}}\)

=\(8+2\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

=\(8+2.\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}\)

=\(8+2.\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

=\(8+2.\left(\sqrt{5}-1\right)\)

=\(8+2\sqrt{5}-2\)

=\(6+2\sqrt{5}\)

=\(\left(\sqrt{5}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}=\sqrt{5}+1\)

a.Ta có:\(2x^2-4xy+4y^2+2x+1=0\)

\(\Rightarrow\left[x^2-2x\left(2y\right)+\left(2y\right)^2\right]+\left(x^2+2x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x+1\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x-2y=0 và x+1=0

Suy ra x=-1;y=-1/2

b.Ta có:\(x^2-6x+y^2-6y+21=3\)

\(\Rightarrow\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2-6y+9\right)+3-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x-3=y-3=0

Suy ra x=y=3

c.Ta có:\(2x^2-8x+y^2-2xy+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-8x+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-4\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:x-y=x-4=0

Suy ra x=y=4

a) 2x² - 4xy + 4y² + 2x + 1 = 0

<=> x² - 4xy + 4y² + x² + 2x + 1 = 0

<=> ( x - 2y )² + ( x + 1 )² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x-2y=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

b) x² - 6x + y² - 6y + 21 = 3

<=> x² - 6x + y² - 6y + 21 - 3 = 0

<=> x² - 6x + y² - 6y + 18 = 0

<=> x² - 6x + 9 + y² - 6y + 9 = 0

<=> ( x - 3 )² + ( y - 3 )² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x-3=0\\y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}\)

c) 2x² - 8x + y² - 2xy + 16 = 0

<=> x² - 2xy + y² + x² - 8x + 16 = 0

<=> ( x - y )² + ( x - 4 )² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}}\)

Bài làm:

Ta có: \(\left(\sqrt{18}+\sqrt{20}-\sqrt{8}\right).\sqrt{2}-2\sqrt{10}\)

\(=\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right).\sqrt{2}-2\sqrt{10}\)

\(=\left(\sqrt{2}+2\sqrt{5}\right)-2\sqrt{10}\)

\(=2+2\sqrt{10}-2\sqrt{10}\)

\(=2\)

Cách 1 :\(A=\sqrt{6-2\sqrt{5}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2}-\sqrt{\sqrt{5}^2+2\sqrt{5}+\sqrt{1}^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{1}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{1}\right)^2}\)

\(=|\sqrt{5}-\sqrt{1}|-|\sqrt{5}+\sqrt{1}|=\sqrt{5}-\sqrt{1}-\sqrt{5}-\sqrt{1}=-2\)

Cách 2 \(A=\sqrt{6-2\sqrt{5}}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}\)

\(< =>A^2=6-2\sqrt{5}-6-2\sqrt{5}+2\sqrt{36-20}\)

\(< =>A^2=8-2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=8-2\left(2\sqrt{5}\right)=8-4\sqrt{5}\)

<=>...

\(B=\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+12\sqrt{2}}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{1}}{\sqrt{17+12\sqrt{2}}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\sqrt{17+12\sqrt{2}}-\left(\sqrt{2}+1\right)\sqrt{17-12\sqrt{2}}}{\sqrt{17^2-\left(12\sqrt{2}\right)^2}}\)

tự làm tiếp đi , mình lười viết

cau hoi nay de lam ma

\(\frac{4}{x-3}+\frac{5}{x+3}-\frac{13-9x^2}{x^2-9}\)

ĐKXĐ : \(x\ne\pm3\)

\(=\frac{4}{x-3}+\frac{5}{x+3}-\frac{13-9x^2}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\frac{4\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\frac{5\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{13-9x^2}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\frac{4x+12}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\frac{5x-15}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{13-9x^2}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\frac{4x+12+5x-15-13+9x^2}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\frac{9x^2+9x-16}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{9x^2+9x-16}{x^2-9}\)