Đặt x² + x + 1 = k²

<=> 4x² + 4x + 4 = 4k²

<=> 4k² - 4x² - 4x + 1 - 5 = 0

<=> (2k)² - (2x -1)² = 5

<=> (2k + 2x -1)(2k - 2x - 1) = 5

Vì x, k nguyên nên ta có các trường hợp:

\(TH_1\hept{\begin{cases}2k+2x-1=5\\2k-2x-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\k=2\end{cases}}}\)

\(TH_2\hept{\begin{cases}2k+2x-1=1\\2k-2x-1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\k=2\end{cases}}}\)

\(TH_3\hept{\begin{cases}2k+2x-1=-1\\2k-2x-1=-5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\k=-1\end{cases}}}\)

\(TH_4\hept{\begin{cases}2k+2x-1=-5\\2k-2x-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\k=-1\end{cases}}}\)

Vậy các số nguyên x là ( -1; 1 )

đặt \(x^2+x+23=k^2\left(k\in N\right)\Leftrightarrow4x^2+4x+92=4k^2\Leftrightarrow4k^2-\left(2x+1\right)^2=91\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2x-1\right)\left(2k+2x+1\right)=91\)

vì 2k+2x+1>2k-2x-1>0 nên xảy ra 2 trường hợp sau

th1 2k+2x+1=91 và 2k-2x-1=1 => x=22

th2 2k+2x+1=1 và 2k-2x-1=7 => x=1

vậy x=22; x=1 thì \(\sqrt{x^2+x+3}\)là số hữu tỉ

\(\left(x+7\right)^2+3\left(x+y\right)^2\)

\(=\left(x+7\right)^2+108\)

\(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-\left(x-1\right)^3+7\)

\(=x^3-8-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+7\)

\(=x^3-8+7-x^3+3x^2-3x+1\)

\(=\left(x^3-x^3\right)+\left(7+1-8\right)+3x^2-3x\)

\(=3x^2-3x=3x\left(x-1\right)\)

\(x\left(x+2\right)\left(2-x\right)+\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=x\left(2+x\right)\left(2-x\right)+\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=x\left(4-x^2\right)+\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=4x-x^3+\left(x^3+9\right)\)

\(=4x-\left(x^3-x^3\right)+9\)

\(=4x+9\)

Để AA là số chính phương ⇒26n+17=t2(t∈N)⇒26n+17=t2(t∈N)

⇒26n+13=t2−4⇒26n+13=t2−4

⇒13(2n+1)=(t−2)(t+2)(1)⇒13(2n+1)=(t−2)(t+2)(1)

⇒(t−2)(t+2)⋮13⇒(t−2)(t+2)⋮13⇒⎡⎣t−2⋮13t+2⋮13⇒[t−2⋮13t+2⋮13

*)Xét t+2⋮13⇒t+2=13m(m∈N)t+2⋮13⇒t+2=13m(m∈N)⇒t=13m−2⇒t=13m−2

Thay vào (1)(1)⇒13(2n+1)=13m(13m−4)⇒13(2n+1)=13m(13m−4)

⇒2n+1=m(13m−4)⇒n=13m2−4m−12⇒2n+1=m(13m−4)⇒n=13m2−4m−12

*)Xét t−2⋮13⇒t−2=13m(m∈N)t−2⋮13⇒t−2=13m(m∈N)⇒t=13m+2⇒t=13m+2

Thay vào (1)(1)⇒13(2n+1)=13m(13m+4)⇒13(2n+1)=13m(13m+4)

⇒2n+1=m(13m+4)⇒2n+1=m(13m+4)⇒n=13m2+4m−12⇒n=13m2+4m−12

Vậy.....

chúc bạn hok tốt

đặt \(\hept{\begin{cases}n+5=x^2\\n+30=y^2\end{cases}\left(x;y\in N;x,y>0\right)}\)

\(\Leftrightarrow y^2-x^2=25\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y+x\right)=1.25\)(vì x,y thuộc N, x,y>0)

lại có y-x<y+x nên \(\hept{\begin{cases}y+x=1\\y+x=25\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=13\\x=12\end{cases}}}\)

thay vào ta được n=139 thỏa mãn

anh có thể k cho em được ko em cần thêm k đúng

Dễ thôi :D 

Đặt \(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}=q^2\) Khi đó ta được:\(n\left(2n-1\right)=26q^2\)

Do VP chẵn nên n phải là số chẵn, đặt n = 2k ( k tự nhiên )

\(\Rightarrow k\left(4k-1\right)=13q^2\)

Mặt khác \(\left(k;4k-1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}k=a^2\\4k-1=13b^2\end{cases}}\left(h\right)\hept{\begin{cases}k=13b^2\\4k-1=a^2\end{cases}}\) với a, b là các số tự nhiên

\(TH1:k=a^2;4k-1=13b^2\Rightarrow4k=13b^2+1=12b^2+b^2+1\)

Vì vậy \(b^2\equiv3\left(mod4\right)\) vô lý vì b² phải là số chính phương.

\(TH2:k=13b^2;4k-1=a^2\Rightarrow4k=a^2+1\) tương tự thì không tồn tại.

Vậy không tồn tại n nguyên dương sao cho \(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}\) là số chính phương

Bài làm:

Ta có: \(A=64-\left(x-4\right)\left(x^2+4x+16\right)\)

\(A=64-x^3+64\)

\(A=128-x^3\)

Tại \(x=-\frac{1}{2}\) ta được:

\(A=128-\left(-\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1025}{8}\)

A = 64 - ( x - 4 )( x² + 4x + 16 )

A = 64 - ( x³ + 4x² + 16x - 4x² - 16x - 64 )

A = 64 - ( x³ - 64 )

A = 64 - x³ + 64

A = -x³ + 128

Thế x = -1/2 vào A ta được :

A = -(-1/2)³ + 128 = 1/8 + 128 = 1025/8

a)tứ giác ABMC là hình chữ nhật (vì là hbh có 1 góc vuông)

b)Xét tam giác ABC có:BE=AE,DB=DC=>ED là đường trung bình của tam giác ABC

=>ED//AC=>ED//AF         (1)

C/M tương tự DF//AE(DF là đường trung bình của tam giác BAC)           (2)

Từ (1),và (2)=>EDFA là hbh.Mà BAC^=90độ=>EDFA là hcn(hbh có 1 góc vuông)

d)ĐK:tam giác ABC là tam giác cân=>AB=AC      (4)

Vì AE=1/2AB,AF=1/2AC               (5)                     

   Từ (4) và (5)=>AE=AF=>ADEF là hình vuông(vì AEDF mik đã c/m là hcn ở ý b rồi)(hcn có 2 cạnh kề bắng nhau là hình vuông)

Góc BEC=góc BFC=90 độ

=>BCEF LÀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP

=>Góc AFE=gócC (1)

Tam giác BNC đồng dạng với tam giác BMC(g.c.g)

=>Góc BNC=góc BMC

=>BCMN là tứ giác nội tiếp

=>Góc ANM=góc AMN=góc C (2)

Từ 1 và 2

Có EF song song với MN và góc ANM=góc AMN

=>EMNF là hình thang cân

đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))

Sử dụng BĐT Svacxo ta có :

 \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)

bài làm của e : 

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)

Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được : 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)

Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:

https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html

Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1

chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)

Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)