\(Q=\left(x^2+x+5\right)\left(5-x^2-x\right)=25-\left(x^2+x\right)^2\le25\)

Dấu = xảy ra khi \(x^2+x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=0\end{cases}}\)

=>   \(-Q=\left(x^2+x+5\right)\left(x^2+x-5\right)\)

=>   \(-Q=\left(x^2+x\right)^2-25\)

Có:   \(\left(x^2+x\right)^2\ge0\forall x\)

=>   \(-Q\ge-25\forall x\)

=>     \(Q\le25\)

DẤU "=" XẢY RA <=>   \(\left(x^2+x\right)^2=0\)

<=>   \(x^2+x=0\)

<=>   \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

VẬY Q MAX = 25 <=>    \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

( x - 3 )² + ( x - 2 )²

= x² - 6x + 9 + x² - 4x + 4

= 2x² - 10x + 13

= 2( x² - 5x + 25/4 ) + 1/2

= 2( x - 5/2 )² + 1/2

\(2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> x - 5/2 = 0 => x = 5/2

Vậy GTNN của biểu thức = 1/2 , đạt được khi x = 5/2

Mình làm và sửa đề đúng luôn nhé !

1) \(36x^2-a^2+10a-25\)

\(=\left(6x\right)^2-\left(a^2-10a+25\right)\)

\(=\left(6x\right)^2-\left(a-5\right)^2\)

\(=\left(6x-a+5\right)\left(6x+a-5\right)\)

2) \(4x^2-4xy+y^2-25a^2+10a-1\)

\(=\left(2x-y\right)^2-\left(5a-1\right)^2\)

\(=\left(2x-y-5a+1\right)\left(2x-y+5a-1\right)\)

3) \(m^2-6m+9-x^2+4xy-4y^2\)

\(=\left(m-3\right)^2-\left(x-2y\right)^2\)

\(=\left(m-3-x+2y\right)\left(m+3-x+2y\right)\)

Đơn giản mà.

Nếu tồn tại một số chính phương có tổng các chữ số = 5

\(\Rightarrow\)Số chính phương đó chia 3 dư 2

Mà số chính phương chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 khi chia cho 3

Vậy: Một số chính phương không thể có tổng các chữ số bằng 5.

cảm ơn nhé

nếu tất cả x_i chẵn thì x_i⁴ chẵn nên \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chẵn , không thể bằng 2015

nếu có \(x_k\)lẻ \(x_k=2m_k+1,m_k\inℤ,x_k^4=\left(2m_k+1\right)^4=16m_k^3\left(m_k+2\right)+8m_k\left(3m_k+1\right)+1\)

nếu m_k chẵn thì \(8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)

m_k lẻ thì \(3m_k+1\)chẵn \(\Rightarrow8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)

do đó \(x_k^4\)chia cho 16 có số dư là 1

vì vậy \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia cho 16 có số dư tối đa là 8

còn 2015=125.16+15 khi chia 16 có số dư là 15 

vậy không thể xảy ra \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+....+x_8^4=2015,x_i\inℤ\)

Với \(x\in Z\)thì: \(x^2\)chia 16 dư 0 hoặc 1. (Tự cm)

\(\Rightarrow x^4=\left(x^2\right)^2:16\)dư 0 hoặc 1

\(\Rightarrow x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia 16 sẽ nhận một trong các số dư 0;1;2...;8

Mà \(2015:16\)dư 15\(\Rightarrow\)Phương trình vô nghiệm.

Có \(D=\left(y-1\right)\left(y-2\right)\left(f+y+y^2\right)\left(4+2y+y^2\right)\)

Thay \(y=1\) vào D, ta có : \(D=\left(1-1\right)\left(1-2\right)\left(f+1+1^2\right)\left(4+2.1+1\right)\)

\(D=0\left(1-2\right)\left(f+1+1^2\right)\left(4+2.1+1\right)=0\)

Vậy giá trị biểu thức D khi \(y=1\) là 0

\(D=\left(y-1\right)\left(y-2\right)\left(f+y+y^2\right)\left(4+2y+y^2\right)\)

Thay y = 1 vào biểu thức D

\(D=\left(1-1\right)\left(1-2\right)\left(f+1+1^2\right)\left(4+2.1+1^2\right)\)

\(D=0.\left(-1\right)\left(f+2\right).7=0\)

Với y = 1 thì biểu thức có giá trị là 0

Ta có (x - 3)(x - 5) + 2 = x² - 8x + 15 + 2 = x² - 8x + 16 + 1 =(x - 4)² + 1\(\ge\)1 > 0 (đpcm)

( x - 3 )( x - 5 ) + 2

= x² - 8x + 15 + 2

= ( x² - 8x + 16 ) + 1

= ( x - 4 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x ( đpcm )

Đặt \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=A\)

Ta có:\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

<=> \(\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)

<=> \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{a}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

<=> \(A+\frac{a+b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{c+a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{c+b}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A+\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)+\left(c+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A+\frac{a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

<=> \(A=0\)

=> ....

x^2 + 3x + 4 = x^2 + 2.(3/2).x + 9/4 - 9/4 + 4

= (x+3/2)^2 + 7/4 >= 7/4

<=> A >= 49/16.

Dấu "=" xảy ra <=> x = -3/2

\(x^2+3x+4=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\left(x^2+3x+4\right)^2\ge\left(\frac{7}{4}\right)^2=\frac{48}{16}\)

Dấu '=' xảy ra khi :

\(x+\left(\frac{3}{2}\right)=0\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)

a,

\(2^2=\left(1+1\right)^2=1^2+2.1+1\)

\(3^2=\left(2+1\right)^2=2^2+2.2+1\)

....

\(\left(n+1\right)^2=n^2+2n+1\)

Cộng theo từng vế của các đẳng thức:

\(2^2+3^2+...+\left(n+1\right)^2=1^2+2^2+...+n^2+2\left(1+2+...+n\right)+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2=1+2S+n\)

\(\Leftrightarrow2S=\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2S=\left(n+1\right)n\)

\(\Leftrightarrow S=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

b, Tương tự a

\(2^3=\left(1+1\right)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)

\(3^3=\left(2+1\right)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)

...

\(\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1\)

Cộng theo từng vế của các đẳng thức:

\(2^3+3^3+...+\left(n+1\right)^3=1^3+2^3+...+n^3+3\left(1^2+2^2+...+n^2\right)+3\left(1+2+...+n\right)+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3=1+3S_1+3S+n\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^3-\left(n+1\right)-3S=3S_1\)

\(3S_1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow3S_1=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow S_1=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)