Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)và đặt \(2t=a+b=-c\Rightarrow t=-\frac{c}{2}\)

+)Nếu \(c\ge0\) thì \(a,b\ge0\). Khi đó: \(P\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=0\)

+) Nếu \(c< 0\Rightarrow t>0\). Ta có:

\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+2\right)^2}{2}+\left(c^2+1\right)^2+\frac{3\sqrt{6}c\left(a+b\right)^2}{2}\) (vì c < 0)

\(\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2\right]^2}{2}+\left(c^2+1\right)^2+3\sqrt{6}c.\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left(2t^2+2\right)^2}{2}+\left(c^2+1\right)^2+6\sqrt{6}t^2c\)

\(=\frac{\left[2\left(-\frac{c}{2}\right)^2+2\right]^2}{2}+\left(c^2+1\right)^2+6\sqrt{6}\left(-\frac{c}{2}\right)^2c\)

\(=\frac{9}{8}c^2\left(c+\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2+3\ge3\)

\(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{\frac{2}{3}};\sqrt{\frac{2}{3}};-2\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\) (và các hoán vị, trong trường hợp tổng quát)

Vậy....

P/s: Em không chắc lắm, chưa check lại.

Theo đề ta có: \(xy+yz+zx\le3xyz\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{x^2}\ge\sqrt{x}\\\sqrt[3]{y^2}\ge\sqrt{y}\\\sqrt[3]{z^2}\ge\sqrt{z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{x^2}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Pt \(\left(m+2\right)x^2+4mx+4m-1=0\)có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\hept{\begin{cases}m+2\ne0\\\left(2m\right)^2-\left(m+2\right)\left(4m-1\right)>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne-2\\4m^2-\left(4m^2+7m-2\right)>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne-2\\-7m+2>0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ne-2\\m< \frac{2}{7}\end{cases}}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}m\ne2\\m< \frac{2}{7}\end{cases}}\)Pt có hai nghiệm phân biệt.

\(ĐKXĐ:-1\le x\le1\)

\(pt\Leftrightarrow2\left[\sqrt{1-x}-\left(1-x\right)\right]+\left[\sqrt{1-x^2}-\left(1+x\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{1-x}\left(1-\sqrt{1-x}\right)+\sqrt{1+x}\)

\(\left(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{1-x}.\frac{x}{1+\sqrt{1-x}}+\sqrt{1+x}.\frac{-2x}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(\frac{\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}}-\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\\frac{\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}\left(^∗\right)\end{cases}}\)

\(\left(^∗\right)\Leftrightarrow1-x=\sqrt{1+x}\)

\(\Leftrightarrow1+x^2-2x=1+x\Leftrightarrow x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(tmđk\right)\\x=3\left(ktmđk\right)\end{cases}}\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là 0

ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{1+x}=a\ge0;\sqrt{1-x}=b\ge0\)

Ta thu được hệ: \(\hept{\begin{cases}2b+ab=b^2+2\\a^2+b^2=2\end{cases}}\)

Cộng hai phương trình của hệ lại với nhau, vế với vế: \(a^2+b^2+2b+ab=b^2+4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(a+b-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-2\left(L\right)\\a=2-b\left(1\right)\end{cases}}\)

(1) \(\Leftrightarrow a+b=2\Leftrightarrow\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2\)

\(\Leftrightarrow2+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}=4\Leftrightarrow\left(1+x\right)\left(1-x\right)=1\) (chuyển vế, chia hai vế cho 2)

\(\Leftrightarrow-x^2=0\Rightarrow x=0\)

https://www.youtube.com/channel/UCU_DXbWfhapaSkAR7XsK5yQ?view_as=subscriber

Gọi OD cắt (O) tại E,F \(\left(E\in DF\right)\)ta có:

     \(\widehat{DAE}=\widehat{DFM}\)(cùng bù với \(\widehat{MAE}\))

     \(\widehat{ADE}=\widehat{FDM}\)(chung)

Do đó \(\Delta DAE\text{~}\Delta DFM\text{ }\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{DA}{DF}=\frac{DE}{DM}\)

\(\Rightarrow DA.DM=DE.DF\)

\(=\left(DO-OE\right)\left(DO+OF\right)=\left(DO-OM\right)\left(DO+OM\right)=DO^2-OM^2\)(đpcm)