Bài 16: Cho AMNP nhọn, hai đường cao MK và NI cắt nhau tại H. Gọi A là giao điểm của PH và MN.
a) Chứng minh PA vuông góc MN
b) Chứng minh tam giác MIN đồng dạng với tam giác MAP
c) Chứng minh PI/PN=PK/PM Từ đó suy ra góc PKI=góc PMN
d) Chứng minh MH .MK=MI.MP
e) Chứng minh MP ^ 2 =MH.MK+PK.PN
f) Chứng minh IN là phân giác của AIK.
g) Kẻ KB vuông góc MN(B thuộc MN) ; KC vuoong góc MP(C thuộc MP) . Chứng minh BC...
Đọc tiếp
Bài 16: Cho AMNP nhọn, hai đường cao MK và NI cắt nhau tại H. Gọi A là giao điểm của PH và MN.
a) Chứng minh PA vuông góc MN
b) Chứng minh tam giác MIN đồng dạng với tam giác MAP
c) Chứng minh PI/PN=PK/PM Từ đó suy ra góc PKI=góc PMN
d) Chứng minh MH .MK=MI.MP
e) Chứng minh MP ^ 2 =MH.MK+PK.PN
f) Chứng minh IN là phân giác của AIK.
g) Kẻ KB vuông góc MN(B thuộc MN) ; KC vuoong góc MP(C thuộc MP) . Chứng minh BC //AI
a) Tam giác MNP có các đường cao MK, NI cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác MNP => PH vuông góc MN hay PA vuông góc MN tại A.
b) Xét 2 tam giác MIN và MAP, ta có:
\(\widehat{MIN}=\widehat{MAP}=90^o\); \(\widehat{NMP}\) chung
\(\Rightarrow\Delta MIN\sim\Delta MAP\left(g.g\right)\)
c) Tương tự câu b), ta chứng minh được \(\Delta PIN\sim\Delta PKM\)
\(\Rightarrow\dfrac{PI}{PK}=\dfrac{PN}{PM}\Rightarrow\dfrac{PI}{PN}=\dfrac{PK}{PM}\)
Xét tam giác PIK và PNM, ta có:
\(\dfrac{PI}{PN}=\dfrac{PK}{PM};\widehat{MPN}\) chung
\(\Rightarrow\Delta PIK\sim\Delta PNM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{PKI}=\widehat{PMN}\)
d) Xét tam giác MIH và MKP, ta có:
\(\widehat{MIH}=\widehat{MKP}=90^o\); \(\widehat{KMP}\) chung
\(\Rightarrow\Delta MIH\sim\Delta MKP\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MH}{MP}\)
\(\Rightarrow MK.MH=MI.MP\)
e) Từ c), suy ra \(PK.PN=PI.PM\)
Do đó \(MH.MK+PK.PN\)
\(=MI.MP+PI.PM\)
\(=MP\left(MI+PI\right)\)
\(=MP^2\), ta có đpcm.
f) Từ câu d), ta có \(\widehat{PIK}=\widehat{PNM}\)
Tương tự câu d), ta cũng chứng minh được \(\Delta MIA\sim\Delta MNP\)
\(\Rightarrow\widehat{MIA}=\widehat{MNP}\)
\(\Rightarrow90^o-\widehat{MIA}=90^o-\widehat{MNP}\)
\(\Rightarrow\widehat{AIN}=\widehat{KIN}\)
\(\Rightarrow\) IN là tia phân giác \(\widehat{AIK}\)
g) Xét tam giác MBK và MKN, ta có:
\(\widehat{MBK}=\widehat{MKN}=90^o\); \(\widehat{NMK}\) chung
\(\Rightarrow\Delta MBK\sim\Delta MKN\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MK}=\dfrac{MK}{MN}\)
\(\Rightarrow MK^2=MB.MN\)
Tương tự, ta cũng có \(MK^2=MC.MP\)
\(\Rightarrow MB.MN=MC.MP\left(=MK^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{MP}{MB}\)
Xét tam giác MNP và MCB, ta có:
\(\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{MP}{MB};\) \(\widehat{NMP}\) chung
\(\Rightarrow\Delta MNP\sim\Delta MCB\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MNP}=\widehat{MCB}\)
Theo cmt, ta có \(\widehat{MIA}=\widehat{MNP}\)
\(\Rightarrow\widehat{MIA}=\widehat{MCB}\)
\(\Rightarrow\) IA//BC (2 góc đồng vị bằng nhau)
a: Xét ΔMNP có
NI,MK là các đường cao
NI cắt MK tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔMNP
=>PH\(\perp\)MN tại A
b: Xét ΔMIN vuông tại I và ΔMAP vuông tại A có
\(\widehat{IMN}\) chung
Do đó: ΔMIN~ΔMAP
c: Xét ΔPKM vuông tại K và ΔPIN vuông tại I có
\(\widehat{KPM}\) chung
Do đó: ΔPKM~ΔPIN
=>\(\dfrac{PK}{PI}=\dfrac{PM}{PN}\)
=>\(\dfrac{PI}{PN}=\dfrac{PK}{PM}\)
Xét ΔPIK và ΔPNM có
\(\dfrac{PI}{PN}=\dfrac{PK}{PM}\)
\(\widehat{IPK}\) chung
Do đó: ΔPIK~ΔPNM
=>\(\widehat{PKI}=\widehat{PMN}\)
d: Xét ΔMIH vuông tại H và ΔMKP vuông tại K có
\(\widehat{IMH}\) chung
Do đó: ΔMIH~ΔMKP
=>\(\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MH}{MP}\)
=>\(MI\cdot MP=MK\cdot MH\)
e: \(\dfrac{PI}{PN}=\dfrac{PK}{PM}\)
=>\(PI\cdot PM=PN\cdot PK\)
\(MH\cdot MK+PK\cdot PN\)
\(=MI\cdot MP+IP\cdot MP\)
=MP(MI+IP)
=MP^2