Ta có : \(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\)

\(=\left(\frac{b+c}{a}+1\right)+\left(\frac{c+a}{b}+1\right)+\left(\frac{a+b}{c}+1\right)-3\)

\(=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3\)

\(\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}-3=9-3=6\)( bất đẳng thức Cauchy )

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

1. Ta có : A = a² + 2ab + 50 - 12a - 12b + b²

= ( a² + 2ab + b² ) - ( 12a + 12b ) + 50

= ( a + b )² - 12( a + b ) + 50

= 2² - 12.2 + 50

= 30

2. Đặt f(x) = x⁴ - x³ + 6x² - x + n 

           g(x) = x² - x + 5

Đặt thương trong phép chia f(x) cho g(x) là h(x)

f(x) bậc 4 ; g(x) bậc 2 => h(x) bậc 2

=> h(x) có dạng x² + ax + b

Khi đó : f(x) chia hết cho g(x) <=> f(x) = g(x).h(x)

<=> x⁴ - x³ + 6x² - x + n = ( x² - x + 5 )( x² + ax + b )

<=> x⁴ - x³ + 6x² - x + n = x⁴ + ax³ + bx² - x³ - ax² - bx + 5x² + 5ax + 5b

<=> x⁴ - x³ + 6x² - x + n = x⁴ + ( a - 1 )x³ + ( b - a + 5 )x² + ( 5a - b )x + 5b

Đồng nhất hệ số ta có :

a - 1 = -1 ; b - a + 5 = 6 ; 5a - b = -1 ; 5b = n

=> a = 0 ; b = 1 ; n = 5

=> n = 5

Vậy n = 5

Còn có cách khác

Thực hiện phép chia đa thức: x⁴ - x³ + 6x² - x +n chia  cho đa thức x² - x + 5 có thương x² + 1 phần dư là n - 5 

Để đa thức x⁴ - x³ + 6x² - x +n chia hết cho đa thức x² - x + 5 => n - 5 = 0 

=> n = 5 

Tuy nhiên đề đúng là đa thức x⁴ - x² + 6x² - x +n hay đa thức x⁴ - x³ + 6x² - x +n ?

A(x) = x⁴ - 3x³ + ax + b

B(x) = x² - 3x - 4 = x² - 4x + x - 4 = x( x - 4 ) + ( x - 4 ) = ( x - 4 )( x + 1 )

A(x) chia hết cho B(x)

<=> ( x⁴ - 3x³ + ax + b ) chia hết cho ( x - 4 )( x + 1 )

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x^4-3x^3+ax+b\right)⋮\left(x-4\right)\left(1\right)\\\left(x^4-3x^3+ax+b\right)⋮\left(x+1\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Áp dụng định lí Bézoute :

+) vào (1) ta có : A(x) chia hết cho ( x - 4 ) <=> A(4) = 0

=> 256 - 192 + 4a + b = 0

=> 4a + b + 64 = 0

=> 4a + b = -64 (3)

+) vào (2) ta có : A(x) chia hết cho ( x + 1 ) <=> A(-1) = 0

=> 1 + 3 - a + b = 0

=> -a + b + 4 = 0

=> -a + b = -4 (4)

Từ (3) và (4) => \(\hept{\begin{cases}4a+b=-64\\-a+b=-4\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-12\\b=-16\end{cases}}\)

Vậy a = -12 ; b = -16

Bạn vẽ cho mình tam giác ABC vuông tại A có AB = 7cm ; AC = 24cm ; BC là cạnh huyền ; AM là trung tuyến nhé ;-; 

Áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác ABC vuông tại A ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=7^2+24^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=625\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{625}=25\left(cm\right)\)

Theo định lí trong tam giác vuông : Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

mà AM là trung tuyến từ đỉnh A tới BC => AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot25=12,5\left(cm\right)\)

Gọi đa thức bậc 3 đó là P(x) = ax³ + bx² + cx + d

+) P(x) chia x dư 10

=> ax³ + bx² + cx + d - 10 chia hết cho x

Áp dụng định lí Bézoute ta có : P(x) chia hết cho x <=> P(0) = 0

=> d - 10 = 0 => d = 10

+) P(x) chia x - 1 dư 12

=> ax³ + bx² + cx + 10 - 12 chia hết cho x - 1

=> ax³ + bx² + cx - 2 chia hết cho x - 1

Áp dụng định lí Bézoute ta có : P(x) chia hết cho x - 1 <=> P(1) = 0

=> a + b + c - 2 = 0

=> a + b + c = 2 (1)

+) P(x) chia x - 2 dư 4

=> ax³ + bx² + cx + 10 - 4 chia hết cho x - 2

=> ax³ + bx² + cx + 6 chia hết cho x - 2

Áp dụng định lí Bézoute ta có : P(x) chia hết cho x - 2 <=> P(2) = 0

=> 8a + 4b + 2c + 6 = 0

=> 8a + 4b + 2c = -6 (2)

+) P(x) chia x - 3 dư 1

=> ax³ + bx² + cx + 10 - 1 chia hết cho x - 3

=> ax³ + bx² + cx + 9 chia hết cho x - 3

Áp dụng định lí Bézoute ta có : P(x) chia hết cho x - 3 <=> P(3) = 0

=> 27a + 9b + 3c + 9 = 0

=> 27a + 9b + 3c = -9 (3)

Từ (1), (2) và (3) => Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}a+b+c=2\\8a+4b+2c=-6\\27a+9b+3c=-9\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=-\frac{25}{2}\\c=12\end{cases}}\)

Vậy P(x) = 5/2x³ - 25/2x² + 12x + 10