Bài 1. Dùng định lí Bézoute

1) Đặt f(x) = x³ + x² + x + a 

f(x) chia hết cho x + 1 <=> f(-1) = 0

=> -1 + 1 - 1 + a = 0

=> a - 1 = 0

=> a = 1

2) Đặt f(x) = 2x³ - 3x² + x + a

f(x) chia hết cho x + 2 <=> f(-2) = 0

=> a - 30 = 0 

=> a = 30

3) Đặt f(x) = x³ - 2x² + 5x + a

f(x) chia hết cho x - 3 <=> f(3) = 0

=> a + 24 = 0

=> a = -24

4) Đặt f(x) = x⁴ - 5x² + a

Ta có x² - 3x + 2 = x² - x - 2x + 2 = x( x - 1 ) - 2( x - 1 ) = ( x - 1 )( x - 2 )

f(x) chia hết cho x² - 3x + 2 <=> \(\hept{\begin{cases}x^4-5x^2+a⋮x-1\left(1\right)\\x^4-5x^2+a⋮x-2\left(2\right)\end{cases}}\)

(1) : f(x) chia hết cho x - 1 <=> f(1) = 0 => a = 0

(2) : f(x) chia hết cho x - 2 <=> f(2) = 0 => a - 4 = 0 => a = 4

Vậy a = 0 hoặc a = 4

Bài 2.

1) x² - 8x + 20 = ( x² - 8x + 16 ) + 4 = ( x - 4 )² + 4 ≥ 4 > 0 ∀ x ( đpcm )

2) 4x² - 12x + 11 = ( 4x² - 12x + 9 ) + 2 = ( 2x - 3 )² + 2 ≥ 2 > 0 ∀ x ( đpcm )

3) x² - 2x + y² + 4y + 6 = ( x² - 2x + 1 ) + ( y² + 4y + 4 ) + 1 = ( x - 1 )² + ( y + 2 )² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x, y

Bài 3.

A = x² - 20x + 101 = ( x² - 20x + 100 ) + 1 = ( x - 10 )² + 1 ≥ 1 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 10

=> MinA = 1 <=> x = 10

B = 2x² + 40x - 1 = 2( x² + 20x + 100 ) - 201 = 2( x + 10 )² - 201 ≥ -51 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -10

=> MinB = -201 <=> x = -10

Bài 4.

C = 4x - x² + 3 = -( x² - 4x + 4 ) + 7 = -( x - 2 )² + 7 ≤ 7 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 2

=> MaxC = 7 <=> x = 2 

D = 11 - 10x - x² = -( x² + 10x + 25 ) + 36 = -( x + 5 )² + 36 ≤ 36 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -5

=> MaxD = 36 <=> x = -5

Bài kia tí làm nốt ;-;

( x + 3 )( x² - 3x + 9 ) + ( 7 - x )( 7 + x ) + x( x - x² )

= x³ + 27 + 49 - x² + x² - x³

= 76

tự kẻ hình ná:>>

a) Xét tam giác MBE và tam giác NCF có

MBE=NCF(=ACB)

MEB=NFC(=90 độ)

MB=NC(gt)

=> tam giác MBE= tam giác NCF(ch-gnh)

=>ME=NF( hai cạnh t/ứ)

ME//NF( cùng vuông góc với EF)

=> MENF là hbh (có hai cạnh đối // và bằng nhau)

b) Mx//BC=> Mx//EF=> EMK=MEF=90 độ

   vì N,F,K thẳng hàng=> NFE+EFK=180 độ mà NFE=90 độ=> EFK=90 độ

ta có trong tứ giác MEFK có KME=MEF=EFK=90 độ=> MEFK là hcn=> KF=ME mà ME=FN=> KF=FN=> F là trung điểm KN

EF vuông góc với KN tại F=> EF là đường trung trực => EK=EN

\(2x^2+x-3=2x^2+3x-2x+3=\left(x-1\right)\left(2x+3\right)\)

\(3x^2+7x-6=3x^2+9x-2x-6=\left(x+3\right)\left(3x-2\right)\)

\(6x^2-14x-3\) ( đề sai ko )?  \(2x^2-14x+4\)( đề sai ko )?  

\(2x^2-3x-20=2x^2+5x-8x-20=\left(2x+5\right)\left(x-4\right)\)

cách 1:( cách không tổng quát) 

Nhận thấy \(A=x^4+3x^3-x^2+\left(2a-3\right)x+3b+a\)

\(\Leftrightarrow A=x^2\left(x^2+3x-1\right)+\left(2a-3\right)x+3b+a=x^2.B+\left(2a-3\right)x+3b+a\)

Vì B là đa thức bậc 2 nên A chia B dư (2a-3)x+3b+a.

Vì vậy, muốn A chia hết cho B thì đa thức dư phải là đa thức 0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a-3=0\\3b+a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Cách 2:  thực hiện chia đa thức thông thường đề tìm đa thức dư của phép chia : A chia B. sau đó cho đa thức dư bằng đa thức 0 là được

a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a,b,c > 0

nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

=> đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Ta có : 3x² - 5x + 7

= 3( x² - 5/3x + 25/36 ) + 59/12

= 3( x - 5/6 )² + 59/12 ≥ 59/12 > 0 ∀ x

=> đpcm

a/

Vì ABCD là hcn => BC//AD mà \(CI\in BC\) => CI//AD => AICD là hình thang

Ta có ^ADC=90

=> AIDC là hình thang vuông

b/

\(AK=\frac{AD}{2};CI=\frac{BC}{2};AD=BC\Rightarrow AK=CI\)

\(AK\in AD;CI\in BC\) mà AD//BC => AK//CI

=> AICK là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau thì tứ giác đó là hình bình hành)

c/

Gọi O là giao của AC và BD => O là trung điểm của AC và BD (AC và BD là hai đường chéo HCN)

Nối KI ta có 

AK=DK; BI=CI => KI là đường trung bình của HCN ABCD => KI//CD

Xét tg ACD có

AK=DK

KI//DC

=> KI đi qua trung điểm O của AC (trong 1 tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> AC, BD, KI cùng đi qua O