\(x\left(x+1\right)-x\left(x+3\right)=0\Leftrightarrow x^2+x-x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow-2x=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy x=0 

\(x\left(x+1\right)-x\left(x+3\right)=0\)   

\(x\left[\left(x+1\right)-\left(x+3\right)\right]=0\)   

\(x\left(x+1-x-3\right)=0\)   

\(x\cdot\left(-2\right)=0\)   

\(x=0:\left(-2\right)\)   

\(x=0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Chứng minh hoàn tất !

Đẳng thức xảy ra <=> a = b > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)(1)

Ta có : a + b + c ≤ 1

=> ( a + b + c )² ≤ 1

=> \(\frac{1}{\left(a+b+c\right)^2}\ge1\)

=> \(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)

=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/3

Ta có : x³ + x = 0

=> x(x² + 1) = 0

=> x = 0 (Vì x² + 1 \(\ge1>0\forall x\))

Vậy x = 0

Ta có : x³ + x = 0

<=> x( x² + 1 ) = 0

<=> x = 0 hoặc x² + 1 = 0

Vì x² + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x

<=> x = 0

Vậy x = 0

6x²y + 9xy² - 12xy

= 3xy(2x + 3y - 4)

Ta có P = -2x² + 8x - 9

= \(-2\left(x^2-4x+\frac{9}{2}\right)=-2\left(x^2-4x+4+\frac{1}{2}\right)=-2\left[\left(x-2\right)^2+\frac{1}{2}\right]\)

\(=-2\left(x-2\right)^2-1\le-1< 0\forall x\)

=> P < 0 \(\forall x\)(đpcm)

Ta có :

P = -2x² + 8x - 9

= -2( x² - 4x + 4 ) - 1

= -2( x - 2 )² - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x

=> P < 0 ∀ x ( đpcm )