Cứ phân tích ra thôi :) Nhưng hơi dài ==

ĐKXĐ : n ∈ Z

n⁵ - 5n³ + 4n

= n( n⁴ - 5n² + 4 )

= n( n⁴ - 2n³ + 2n³ - 4n² - n² + 2n - 2n + 4 )

= n[ ( n⁴ - 2n³ ) + ( 2n³ - 4n² ) - ( n² - 2n ) - ( 2n - 4 ) ]

= n[ n³( n - 2 ) + 2n²( n - 2 ) - n( n - 2 ) - 2( n - 2 )

= n( n - 2 )( n³ + 2n² - n - 2 )

= n( n - 2 )[ ( n³ + 2n² ) - ( n + 2 ) ] 

= n( n - 2 )[ n²( n + 2 ) - ( n + 2 ) ]

= n( n - 2 )( n + 2 )( n² - 1 )

= n( n - 2 )( n + 2 )( n - 1 )( n + 1 )

= ( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 )

Vì n ; n + 1 là hai số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 2 (1) 

    n - 1 ; n ; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 3 (2)

    n - 2 ; n - 1 ; n ; n + 1 là bốn số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 4 (3)

    n - 2 ; n - 1 ; n ; n + 1 ; n + 2 là năm số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 5 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => ( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 2.3.4.5 = 120

hay n⁵ - 5n³ + 4n chia hết cho 120 ( đpcm )

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a,b,c > 0

Sử dụng HĐT a³ + b³ = ( a + b )³ - 3ab( a + b )

a³ + b³ + c³ = 3abc

⇔ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

⇔ ( a³ + b³ ) + c³ - 3abc = 0

⇔ ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

⇔ [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

⇔ ( a + b + c )[ ( a + b )² - ( a + b ).c + c² ] - 3ab( a + b + c ) = 0

⇔ ( a + b + c )( a² + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3ab ) = 0

⇔ ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 0

⇔ \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{cases}}\)

Vì a,b,c > 0 => a + b + c > 0 => a + b + c = 0 không thể xảy ra

Xét trường hợp còn lại ta có :

a² + b² + c² - ab - bc - ac = 0

⇔ 2( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 2.0

⇔ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac = 0

⇔ ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( a² - 2ac + c² ) = 0

⇔ ( a - b )² + ( b - c )² + ( a - c )² = 0

VT luôn ≥ 0 ∀ a,b,c . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Kết hợp với điều kiện => a = b = c > 0

=> Tam giác đó là tam giác đều

Gọi ba số cần tìm là n ; n + 1 ; n + 2 ( n ∈ N )

Theo đề bài ta có : ( n + 1 )( n + 2 ) - n( n + 1 ) = 4040

                          ⇔ n² + 3n + 2 - n² - n = 4040

                          ⇔ 2n + 2 = 4040

                          ⇔ 2n = 4038

                          ⇔ n = 2019 ( tm )

=> n = 2019 ; n + 1 = 2020 ; n + 2 = 2021

Vậy ba số cần tìm là 2019 ; 2020 ; 2021

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là

(n-1); n; (n+1). Theo đề bài

\(n\left(n+1\right)-n\left(n-1\right)=4040\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-n^2+n=4040\Rightarrow n=2020\)

=> 3 số TN liên tiếp cần tìm là

2019; 2020; 2021

Ta có: x,y \(\in\)N nên x,y \(\ge\)0

Nếu \(x\ge2\)thì \(x^3\ge8\)và \(x^2\ge4\)nên VT > 0 ( Loại )

Nếu x = 1 thì: -1 + 4y = 0 ( Loại )

Nếu x = 0 thì 4y - 8 = 0 \(\Rightarrow\)y = 2 ( Thỏa mãn )

Vậy x=0; y = 2.

x³ - 7x² - 21x + 27

= ( x³ + 27 ) - ( 7x² + 21x )

= ( x + 3 )( x² - 3x + 9 ) - 7x( x + 3 )

= ( x + 3 )( x² - 3x + 9 - 7x )

= ( x + 3 )( x² - 10x + 9 )

= ( x + 3 )( x² - x - 9x + 9 )

= ( x + 3 )[ x( x - 1 ) - 9( x - 1 ) ]

= ( x + 3 )( x - 1 )( x - 9 )

\(xy+2y=x+4\Leftrightarrow x\left(y-1\right)=4-2y\Leftrightarrow x=\frac{4-2y}{y-1}\left(y\ne1\right)\) 

\(\Leftrightarrow x=\frac{2+2-2y}{y-1}=\frac{2-2\left(y-1\right)}{y-1}=\frac{2}{y-1}-2\)

Để x nguyên \(\Rightarrow\frac{2}{y-1}\) nguyên hay y-1 là ước của 2

\(\Rightarrow y-1=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow y=\left\{-1;0;2;3\right\}\Rightarrow x=\left\{-3;-4;0;-1\right\}\)

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24\)

\(\left(x+1\right)\left(x+4\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)-24\)

\(\left(x^2+4x+x+4\right)\left(x^2+2x+3x+6\right)-24\)

\(\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)-24\)

Đặt \(x^2+5x+4=a\) ta có

\(a.\left(a+2\right)-24\)

\(a^2+2a-24\)

\(a^2+6a-4a-24\)

\(a\left(a+6\right)-4\left(a+6\right)\)

\(\left(a+6\right)\left(a-4\right)\)

\(\left(x^2+5x+4+6\right)\left(x^2+5x+4-4\right)\)

\(\left(x^2+5x+10\right)\left(x^2+5x\right)\)

   \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24\)

\(=\left[\left(x+1\right)\left(x+4\right)\right]\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]-24\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)-24\)

   Đặt \(x^2+5x+5=a\)

   Suy ra  \(\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)-24\)

               \(=\left(a+1\right)\left(a-1\right)-24\)

                 \(=a^2-1-24=a^2-25=\left(a-5\right)\left(a+5\right)\)

  Do đó 

         \(\left(a+5\right)\left(a-5\right)=x\left(x^2+5x+10\right)\left(x+5\right)\)

               Vậy \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24=x\left(x^2+5x+9\right)\left(x+5\right)\)