Bài 1 : 

Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có các bđt

\(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)

Do tính lớn nhỏ của căn bậc 2 và số trong nó liên hệ vs nhau nên 

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}\\\sqrt{b}+\sqrt{c}>\sqrt{a}\\\sqrt{c}+\sqrt{a}>\sqrt{b}\end{cases}}\)

Vậy \(\sqrt{a},\sqrt{b}\) và\(\sqrt{c}\)  lập thành 3 cạnh của một tam giác.

Bài 2 : 

Gọi thời gian người thứ nhất đi là xx(h), khi đó thời gian người thứ hai đi là x−1(h).

Vậy quãng đường người thứ nhất và người thứ hai đi đc lần lượt là 15x(km) và 35(x−1)(km).

Do khoảng cách hai xe cách nhau 90km, mà hai người đi 2 đường vuông góc, nên theo Pytago ta có 

\(\left(15x\right)^2+\left[35\left(x-1\right)\right]^2=90^2\)

\(\Leftrightarrow225x^2+1225\left(x^2-2x+1\right)=8100\)

\(\Leftrightarrow1450x^2-2450x-6875=0\)

\(\Leftrightarrow58x^2-98x-275=0\)

Vậy : \(x=\frac{49+\sqrt{18351}}{58}\)

Do đó sau : \(\frac{49+\sqrt{18351}}{58}\approx190,83'\) thì hai người cách nhau 90(km)

gọi M là trung điểm của AF . Ta có OM là đường trung bình của tam giác ACF

\(=>OM//CF,OM=\frac{1}{2}CF\)

ta lại có \(OM//CF,CF\perp CD\left(gt\right)\)

\(=>OM\perp CD.Mà\left(AB//CD\right)\)

\(=>OM//BE\)(1)

mặt khác OM , AM là 2 đường cao của tam giác ABO

=> M là trực tâm của tam giác ABO 

=>\(BM\perp AC.Mà\left(EO\perp AC\right)=>BM//EO\left(2\right)\)

từ 1 zà 2 => tứ giác BMOE là hbh => OM=BE

ta có 

\(OM=BE;OM=\frac{1}{2}CF=>BE=\frac{1}{2}CF\left(and\right)BE//OM//CF\)

\(\Delta KCF\)có \(CF//BE=>\frac{KE}{KF}=\frac{BE}{CF}=\frac{1}{2}\)

\(x^2+\left(x-1\right)\left(3-x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x-x^2-3+x>0\)

\(\Leftrightarrow4x-3>0=>4x>3=>x>\frac{3}{4}\)

dễ 

Ta có \(P=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge\frac{1}{2};b^2+\frac{1}{16b^2}\ge\frac{1}{2};\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}=\frac{4}{2ab}\)

Mặt khác ta có:\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2}\)

=> \(2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge4\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)\ge4\cdot\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{16}{\left(a+b\right)^2}=16\)

=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge8\)

Vậy \(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)

Vậy \(Min_P=\frac{17}{2}\)đạt được khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+2\left(x+y\right)=7\\y\left(y-2x\right)-2x=10\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=9\\\left(y-x\right)^2-\left(x+1\right)^2=9\end{cases}}\)

Đặt: x + 1 = a và y + 1 = b ta có hẹ mới:

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=9\left(1\right)\\\left(a-b\right)^2-a^2=9\left(2\right)\end{cases}}\)

(2)< => \(a^2-2ab+b^2-a^2=9\)

<=> \(9-2ab-a^2=9\)

<=> \(a^2+2ab=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a=-2b\end{cases}}\)

TH:  a = 0 ta có: \(b^2=9\Leftrightarrow b=\pm3\)

Với a = 0 ; b = 3 => x = -1 ; y = 2 ( thử vào tm)

Với a = 0; b = - 3 => x = -1; y = -4 ( thử vào tm)

TH: a = - 2b thế vào ( 1) ta có: \(4b^2+b^2=9\Leftrightarrow5b^2=9\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=\frac{3\sqrt{5}}{5}\\b=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\end{cases}}\)

Với \(b=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)ta có: a = \(-\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

=> x = \(-\frac{6\sqrt{5}}{5}-1\); y = \(\frac{3\sqrt{5}}{5}-1\)( thử lại thỏa mãn)

Với \(b=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\) ta có: a = \(\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

=>  x = \(\frac{6\sqrt{5}}{5}-1\); y = \(-\frac{3\sqrt{5}}{5}-1\)( thử lại thỏa mãn)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+2\left(x+y\right)=7\left(1\right)\\y\left(y-2x\right)-2x=10\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1)- ( 2) 

x² +2xy + 4x + 2y + 3 = 0 

<=> ( x² + x ) + ( 2yx + 2y) + 3.( x + 1) =0

<=>  ( x + 1 ) ( x + 2y + 3 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\left(^∗\right)\\x=-2y-3\left(^∗^∗\right)\end{cases}}\)

Thay (*) vào ( 1)

=> 1² + y² +2( 1+ y) -7 = 0

<=> y² + 2y -4 = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}y_1=-1+\sqrt{5}\\y_2=-1-\sqrt{5}\end{cases}}\)

Thay ( **) vào (1) 

(-2y-3)² + y² +2(-2y-3 + y) = 7 

5y² + 10y -  4 = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}y=\frac{-5+3\sqrt{5}}{5}\Rightarrow x=-\frac{5+6\sqrt{5}}{5}\\y=\frac{-5-3\sqrt{5}}{5}\Rightarrow x=-\frac{5+6\sqrt{5}}{5}\end{cases}}\)