a) \(\Delta ABC\) cân tại A, có AM là đường trung tuyến

\(\Rightarrow AM\) cũng là đường trung trực của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=90^0\)

Tứ giác \(AMCN\) có:

\(I\) là trung điểm của AC (gt)

\(I\) là trung điểm của MN (gt)

\(\Rightarrow AMCN\) là hình bình hành

Mà \(\widehat{AMC}=90^0\)

\(\Rightarrow AMCN\) là hình chữ nhật

b) Do \(AMCN\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AN=CM\) và \(AN\) // \(CM\)

Do \(AN\) // \(CM\) (cmt)

\(\Rightarrow AN\) // \(BM\)

Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\(\Rightarrow BM=CM\)

Mà \(AN=CM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow BM=AN\)

Tứ giác \(ABMN\) có:

\(BM\) // \(AN\) (cmt)

\(BM=AN\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow ABMN\) là hình bình hành

Mà \(E\) là trung điểm của AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm của BN

a

a) xét tứ giác APMN có

\(\widehat{BAC}=90^o\\ \widehat{MNA}=90^O\\ \widehat{MPA}=90^O\)

=> tứ giác APMN là hình chữ nhật

b) ΔABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM

=> AM = MC (1)

=> ΔAMC là tam giác cân

Lại có MP là đường cao (\(\widehat{MPA}=90^O\))

=> MP cũng là đường trung tuyến

=> PA = PC

xét tứ giác AMCQ có

PM = PQ (giả thiết)

PA = PC (chứng minh trêN)

=> tứ giác AMCQ là hình bình hành (2)

từ (1) và (2) => hình bình hành AMCQ là hình thoi

Em ghi đề cho chính xác lại

a/

Xét tg ABD có

\(\widehat{DAE}=\widehat{BAE}\Rightarrow\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AD}{AB}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (1)

Xét tg ADC có

\(\widehat{ADF}=\widehat{CDF}\Rightarrow\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AD}{CD}\) (Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy) (2)

Xét hình bình hành ABCD có

\(AB=CD\) (cạnh đối hbh) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AD}{CD}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}\)

b/

Ta có

\(\dfrac{DE}{EB}=\dfrac{AF}{FC}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{DE}{AF}=\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{EB-DE}{FC-AF}\) (T/c dãy tỷ số = nhau)

Ta có

EB=OB+OE; DE=OD-OE

Mà OB=OD (trong hình bình hành 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> EB-DE=OB+OE-OB+OE=2OE

C/m tương tự ta cũng có

FC-AF=2OF

\(\Rightarrow\dfrac{DE}{AF}=\dfrac{EB-DE}{FC-AF}=\dfrac{2OE}{2OF}=\dfrac{OE}{OF}\Rightarrow\dfrac{DE}{OE}=\dfrac{AF}{OF}\)

Xét tg AOD có

\(\dfrac{DE}{OE}=\dfrac{AF}{OF}\left(cmt\right)\) => EF//AD (Talet đảo trong tg)

Mà AD//BC (cạnh đối hbh) 

=> EF//BC