a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên BC=2AM

=>\(AM=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\dfrac{BC^2}{2}+2AM^2=\dfrac{BC^2}{2}+2\cdot\left(\dfrac{1}{2}BC\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{2}BC^2+2\cdot\dfrac{1}{4}BC^2=BC^2\)

\(=AB^2+AC^2\)

`3^3 . 22 - 3^2 . 19`

`= 27 . 22 - 9 . 19`

`= 594 -171`

`= 423`

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHAC

=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{BA}{AC}\)

=>\(\dfrac{2BP}{2AQ}=\dfrac{BA}{AC}\)

=>\(\dfrac{BP}{AQ}=\dfrac{BA}{AC}\)

Xét ΔABP và ΔCAQ có

\(\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{BP}{AQ}\)

\(\widehat{ABP}=\widehat{CAQ}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔABP~ΔCAQ

b: Xét ΔHAB có

Q,P lần lượt là trung điểm của HA,HB

=>QP là đường trung bình của ΔHAB

=>QP//AB

mà AB\(\perp\)AC

nên QP\(\perp\)AC

Xét ΔCAP có

PQ,AH là các đường cao

PQ cắt AH tại Q

Do đó: Q là trực tâm của ΔCAP

=>CQ\(\perp\)AP

\(A=3+3^2+3^3+...+3^{99}\)

\(A=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{97}+3^{98}+3^{99}\right)\)

`A =` \(\left(3+3^2+3^3\right).\left(1+3^3+...+3^{96}\right)\)

`A =` \(39.\left(1+3^3+...+3^{96}\right)\)

Mà `39 ⋮ 13`

`=> A  ⋮ 13` (đpcm)

`x` thuộc `Ư(14) =` {`-14;-7;-2;-1;1;2;7;14`}

Mà `2 ≤ x ≤ 8`

`=> x` thuộc {`2;7;14`}

Vậy ` x` thuộc {`2;7;14`}

Sửa bài: 

x thuộc {2;7}

`2+4+6+...+300`

`(300+2) . [(300-2):2+1] : 2`

`= 302 . (298 : 2 + 1) : 2`

`= 302 . (149 + 1) : 2`

`= 302 . 150 : 2`

`= 22650``

Số số hạng là \(\dfrac{300-2}{2}+1=\dfrac{298}{2}+1=150\left(số\right)\)

Tổng của dãy số là (300+2)x150:2=302x75=22650