Mình nghĩ đề này của bạn nên thêm điều kiện khi cộng vào mỗi chữ số của nó 1 đơn vị ta vẫn luôn được 1 số có 4 chữ số thì bài toán chắc sẽ dễ dàng giải quyết hơn đấy nhỉ!

Gọi số cần tìm là \(x^2=\overline{abcd}\) \(\left(a,b,c,d< 9\&\inℕ\right)\)

Theo đề bài khi cộng mỗi chữ số của nó thêm 1 đơn vị thì ta vẫn được 1 số chính phương nên đặt:

\(y^2=\overline{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}+1111=y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+1111=y^2\Leftrightarrow y^2-x^2=1111\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y+x\right)=1111=11\cdot101=1\cdot1111\) 

Dễ nhận thấy \(y+x>y-x>0\) nên ta xét các TH sau:

Nếu \(\hept{\begin{cases}y-x=11\\y+x=101\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=45\\y=56\end{cases}\left(tm\right)}\Rightarrow\overline{abcd}=2025\)

Nếu \(\hept{\begin{cases}y-x=1\\y+x=1111\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=555\\y=556\end{cases}}\Rightarrow ktm\)

Vậy số cần tìm là 2025 

Gọi số cần tìm là a\(^2\), số mới được tạo thành b\(^2\)( a,b là số tự nhiên ) .

Theo đề bài , ta có :

\(b^2-a^2=1111\)( vì thêm mỗi chữ số 1 đơn vị )

\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-a\right)=1111=1111.1=101.11\)

Vì b > a nên b + a có thể bằng 1111 hoặc 101 , còn b - a chỉ có thể bằng 1 hoặc 11

Giải ra , ta được \(a=555,b=556\)( loại vì số cần tìm là số có 4 chữ số ) và \(a=45,b=56\)( thỏa mãn )

Vậy số cần tìm là \(45^2=2025\)

* Nguồn : https://cunghoctot.vn/forum/topic/nhien-la-so-chinh-phuong-co-4-chu-so

a) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào \(\Delta\)vuông ABC có :

\(AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow BC=20\left(cm\right)\)

Do AD là phân giác \(\widehat{A}\)theo tính chất đường phân giác , ta có :

\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{BD+CD}=\frac{3}{3+4}\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{3}{7}\)

\(\Rightarrow BD=\frac{3}{7}BC=\frac{60}{7}\)

\(\Rightarrow DC=BC-BD=\frac{80}{7}\)

b) AH là đường cao \(\Delta\)vuông ABC nên :

\(S_{\Delta ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.C}{BC}=\frac{48}{5}\left(cm\right)\)

Ta có :

\(BH^2=AB^2-AH^2\Rightarrow BH=\frac{36}{5}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow DH=BD=BH=\frac{48}{35}\left(cm\right)\)

\(AD^2=DH^2+AH^2\Rightarrow AD=\frac{48\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\)

Ta có: \(\frac{x^2-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}=a\Leftrightarrow\frac{x^4+\frac{1}{x^4}-2}{x^4+\frac{1}{x^4}+2}=a^2\) (bình phương 2 vế)

\(\Leftrightarrow1-\frac{4}{x^4+\frac{1}{x^4}+2}=a^2\Leftrightarrow x^4+\frac{1}{x^4}+2=\frac{4}{1-a^2}\Leftrightarrow x^4+\frac{1}{x^4}=\frac{2+2a^2}{1-a^2}\)(1)

Lại có: \(\frac{x^2-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}=a\Leftrightarrow\frac{x^4-\frac{1}{x^4}}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2}=a\Leftrightarrow\frac{x^4-\frac{1}{x^4}}{x^4+\frac{1}{x^4}+2}=a\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4-\frac{1}{x^4}}{\frac{2+2a^2}{1-a^2}+2}=a\) ( thay (1) vào) \(\Leftrightarrow x^4-\frac{1}{x^4}=\frac{4a}{1-a^2}\)  (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow M=\frac{x^4-\frac{1}{x^4}}{x^4+\frac{1}{x^4}}=\frac{\frac{4a}{1-a^2}}{\frac{2+2a^2}{1-a^2}}=\frac{2a}{1+a^2}\)

9x² + 4y² = 20xy

=> 9x² - 20xy + 4y² = 0

=> 9x² - 18xy - 2xy + 4y² = 0

=> 9x(x - 2y) - 2y(x - 2y) = 0

=> (9x - 2y)(x - 2y) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}9x=2y\\x=2y\end{cases}}\)

Khi x = 2y

=> 2y.3x = x.3x = 3x² \(\ge\)0 (loại)

Khi 9x = 2y 

=> 2y.3x = 9x.3x = 27x² \(\ge0\)(loại)

Vậy không tính được B sao cho thỏa mãn đề bài

Ta có : x² - 2y² = xy

=> x² - xy - 2y² = 0

=> x² + xy - 2xy - 2y² = 0

=> x(x + y) - 2y(x + y) = 0

=> (x - 2y)(x + y) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x-2y=0\\x+y=0\left(\text{loại}\right)\end{cases}\Rightarrow x=2y}\)

Thay x = 2y vào A ta có 

\(A=\frac{x-y}{x+y}=\frac{2y-y}{2y+y}=\frac{y}{3y}=\frac{1}{3}\)

Ta có : \(4a^2+b^2=5ab\)

\(\Rightarrow4a^2-4ab+b^2=ab\)

\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2=ab\)

Vì \(0< b< 2a\)\(\Rightarrow2a-b>0\)

\(\Rightarrow2a-b=ab\)

\(\Rightarrow M=\frac{ab}{4a^2-b^2}=\frac{2a-b}{\left(2a-b\right)\left(2a+b\right)}=\frac{1}{2a+b}\)

Vậy \(M=\frac{1}{2a+b}\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{3}{abc}=-\frac{1}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Lại có: \(N=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc.\frac{3}{abc}=3\)

\(P=\frac{a-b}{a+b}\) \(\Leftrightarrow P^2=\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2=\frac{a^2+b^2-2ab}{a^2+b^2+2ab}=\frac{3a^2+3b^2-6ab}{3a^2+3b^2+6ab}=\frac{10ab-6ab}{10ab+6ab}=\frac{4ab}{16ab}=\frac{1}{4}\)

Vì 0 < a < b => a - b < 0, a + b > 0 \(\Rightarrow P=\frac{a-b}{a+b}< 0\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}\)