Đặt \(B=4^{1975}+4^{1974}+...+4^2\)

\(\Rightarrow4B=4^{1976}+4^{1975}+...+4^3\)

\(\Rightarrow4B-B=\left(4^{1976}+4^{1975}+...+4^3\right)-\left(4^{1975}+4^{1974}+...+4^2\right)\)

hay \(3B=4^{1976}-4^2\)

\(\Rightarrow B=\frac{4^{1976}-4^2}{3}\)

\(\Rightarrow A=75\left(B+5\right)+25\)

\(=75\left(\frac{4^{1976}-4^2}{3}+5\right)+25\)

\(=25.\left(4^{1976}-16\right)+375+25\)

\(=25.4^{1976}-400+400\)

\(=25.4^{1976}⋮4^{1976}\left(đpcm\right)\)

Ta có : \(A=7+7^2+7^3+...+7^{4k}\)

\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)

\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+...+7^{4k-4}\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\)

\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\left(1+...+7^{4k-4}\right)\)

\(=2800\left(1+...+7^{4k-4}\right)\)

\(=350.8\left(1+...+7^{4k-4}\right)⋮8\)

\(\Rightarrow A⋮8\left(1\right)\)

Ta lại có : \(A=7+7^2+7^3+...+7^{4k}\)

\(\Rightarrow7A=7^2+7^3+7^4+...+7^{4k+1}\)

\(\Rightarrow7A-A=\left(7^2+7^3+7^4+...+7^{4k+1}\right)-\left(7+7^2+7^3+....+7^{4k}\right)\)

hay \(6A=7^{4k+1}-7=7\left(7^{4k}-1\right)\)

Vì \(7\equiv2\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow7^{4k}\equiv2^{4k}=16^k\left(mod5\right)\)

mà \(16\equiv1\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow16^k\equiv1^k=1\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow7^{4k}\equiv1\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow7^{4k}-1⋮5\left(\cdot\right)\)

\(\Rightarrow7\left(7^{4k}-1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow6A⋮5\)

Nhưng \(\left(6;5\right)=1\)

\(\Rightarrow A⋮5\left(2\right)\)

Ta lại có tiếp : \(7\equiv1\left(mod2\right)\)

\(\Rightarrow7^{4k}\equiv1^{4k}=1\left(mod2\right)\)

\(\Rightarrow7^{4k}-1⋮2\left(\cdot\cdot\right)\)

Từ \(\left(\cdot\right)\), \(\left(\cdot\cdot\right)\) và \(\left(2;5\right)=1\): \(\Rightarrow7^{4k}-1⋮10\)

\(\Rightarrow7\left(7^{4k}-1\right)⋮10\)

\(\Rightarrow6A⋮10\)

Nhưng \(\left(6;10\right)=1\)

\(\Rightarrow A⋮10\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)và \(\left(5;8;10\right)=1\)

\(\Rightarrow A⋮400\left(đpcm\right)\)

a) Với \(n\in N\Rightarrow2^{4n}-1=16^n-1=\left(16-1\right).\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+1\right)\)

\(=15.\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+1\right)⋮15\)

b) Với \(n\in N\Rightarrow16^n-15n-1=\left(16^n-1\right)-15n\)

mà \(\left(16^n-1\right)⋮15\left(cma\right);15n⋮15\)

\(\Rightarrow16^n-15n-1⋮15\)

    năm nay tuổi Nam : tuổi mẹ = 1/3

   14 năm nữa tuổi Nam : tuổi mẹ = 1/2

               1/2-1/3=1/6

   vậy 1/6 tổng số tuổi của mẹ và Nam 14 năm nữa là 14 tuổi

      tổng số tuổi của mẹ và Nam 14 năm nữa là:

            14 : 1/6 = 84 tuổi

     tổng số tuổi của mẹ và Nam năm nay là:

           84 - 14 x 2 = 56 tuổi

     tuổi của Nam năm nay là:

           56 : ( 3+1 ) x 1 = 14 tuổi

                        đ/s: 14 tuổi

ĐKXĐ : x ≠ ±1

pt <=> \(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}+\frac{3}{x^2-1}=0\)

<=> \(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}+\frac{3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2-2x+1}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}+\frac{2}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}+\frac{3\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2-2x+1+2+3x-3}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x}{\left(x-1\right)^2}=0\)

=> x = 0 ( tm )

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x-2\ne0\\x^2-2x\ne0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne2\end{cases}}\)

Khi đó\(\frac{x+1}{x}-\frac{x+5}{x-2}=\frac{1}{x^2-2x}\)

<=> \(\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{x\left(x+5\right)}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\)

<=> \(\frac{x^2-x-2-x^2-5x}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\)

<=> \(\frac{-6x-2}{x\left(x-2\right)}=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\)

<=> -6x - 2 = 1

<=> -6x = 1

<=> x = -1/6

Vậy x = -1/6 là nghiệm của phương trình

Ta có: \(\frac{x+1}{x}-\frac{x+5}{x-2}=\frac{1}{x^2-2x}\)    \(\left(ĐKXĐ:x\ne0;x\ne2\right)\)

    \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x}-\frac{x+5}{x-2}-\frac{1}{x.\left(x-2\right)}=0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right).\left(x-2\right)-\left(x+5\right).x-1}{x.\left(x-2\right)}=0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{x^2-x-2-x^2-5x-1}{x.\left(x-2\right)}=0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{-6x-3}{x.\left(x-2\right)}=0\)

Vì \(x\ne0;x\ne2\)\(\Rightarrow\)\(x.\left(x-2\right)\ne0\)

mà \(\frac{-6x-3}{x.\left(x-2\right)}=0\)\(\Rightarrow\)\(-6x-3=0\)

                                         \(\Rightarrow\)\(x=-\frac{1}{2}\)\(\left(TM\right)\)

Vậy \(x\in\left\{-\frac{1}{2}\right\}\)