Để A > -1 thì \(\frac{x^2+1}{x-1}>-1\)

<=> \(\frac{x^2+1}{x-1}+1>0\)

<=> \(\frac{x^2+1}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}>0\)

<=> \(\frac{x^2+x}{x-1}>0\)

Xét hai trường hợp \(\hept{\begin{cases}x^2+x>0\\x-1>0\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x^2+x< 0\\x-1< 0\end{cases}}\)( bạn tự làm tiếp )

ta có

\(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{4}+b^2\ge ab\\\frac{a^2}{4}+c^2\ge ac\\\frac{a^2}{2}\ge0\end{cases}\Rightarrow\frac{a^2}{4}+b^2+\frac{a^2}{4}+c^2+\frac{a^2}{2}\ge ab+ac}\)

hay \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac\) vậy ta có đpcm

a) x⁴ - 3x³ + 4x² - 3x + 1 = 0

<=> (x⁴ - 3x³ + 2x²) + (2x² - 3x + 1) = 0

<=> x²(x² - 3x + 2) + (2x² - 2x - x + 1) = 0

<=> x²(x² - 2x - x + 2) + [2x(x - 1) - (x - 1)] = 0

<=> x²[x(x - 2) - (x - 2)] + (2x - 1)(x - 1) = 0

<=> x²(x - 1)(x - 2) + (2x - 1)(x - 1) = 0

<=> (x - 1)(x³ - 2x²) + (2x - 1)(x - 1) = 0

<=> (x - 1)(x³ - 2x² + 2x - 1) = 0

<=> (x - 1)[(x³ - 1) - (2x² - 2x)] = 0

<=> (x - 1)[(x - 1)(x² + x + 1) - 2x(x - 1)] = 0

<=> (x - 1)²(x² - x + 1) = 0

<=> (x - 1)² = 0 (Vì x² - x + 1 \(\ge0\forall x\))

<=> x - 1 = 0

<=> x = 1

Vậy x = 1 là nghiệm phương trình

b) x² + 2y² + 2xy - 4x + 2y + 13 = 0

<=> (x² + 2xy + y²) - 4(x + y) + 4 + (y² + 6y + 9) = 0

<=> (x + y)² - 4(x + y) + 4 + (y + 3)² = 0

<=> (x + y - 4)² + (y + 3)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x+y-4=0\\y+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\y=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=-3\end{cases}}\)

Vậy x = 7 ; y =- 3 là nghiệm phương trình

a) Ta thấy: \(x=0\)không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế cho \(x^2\)ta có:

\(x^2-3x+4-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(3x+\frac{3}{x}\right)+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+2=0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=t\)

\(\Rightarrow t^2-3t+2=0\)\(\Leftrightarrow t^2-t-2t+2=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-1\right)-2\left(t-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-1=0\\t-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=2\end{cases}}\)

+) TH1: \(t=1\)\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=1\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=x\)\(\Leftrightarrow x^2-x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)( vô lý do \(VT>0\))

TH2: \(t=2\)\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=2\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=2x\)\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)( thỏa mãn \(x\ne0\))

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1\right\}\)

M = 2x² + 5y² - 2xy + 1

=> 2M = 4x² + 10y² - 4xy + 2

           = (4x² - 4xy + y²) + 9y² + 2 

           = (4x - y)² + (3y)² + 2 

=> M = \(\frac{\left(4x-y\right)^2}{2}+\frac{\left(3y\right)^2}{2}+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}4x-y=0\\3y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=0\)

Vậy Min M = 1 <=> x = y = 0

Ta có x³ - y³ + z³ + 3xyz

= (x - y)³ + 3xy(x - y) + z³ + 3xyz

= [(x - y)³ + z³] + [3xy(x - y) + 3xyz]

= (x - y + z)[(x - y)² - (x - y)z + z²] + 3xy(x - y + z)

= (x - y + z)[x² - 2xy + y² - xz + yz + z²] + 3xy(x - y + z)

= (x - y + z)(x² + y² + z² + xy - xz + yz) 

= 2(x² + y² + z² + xy - xz + yz) (vì x - y+ z = 2)

Lại có (x + y)² + (y + z)² + (z - x)²

= x² + 2xy + y² + y² + 2yz + z² + z² - 2xz + z²

= 2x² + 2y² + 2z² + 2xy + 2yz - 2xz

= 2(x² + y² + z² + xy - xz + yz)

Khi đó P = \(\frac{2\left(x^2+y^2+z^2+xy-xz+yz\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2+xy-xz+yz\right)}=1\)

\(ĐXKĐ:\hept{\begin{cases}x\ne0\\y\ne0\end{cases}}\)

\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2-2+\frac{1}{y^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2=0\)

Vì \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^2\ge0\), \(\left(y-\frac{1}{y}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2\ge0\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{x}=0\\y-\frac{1}{y}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{x}\\y=\frac{1}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=1\\y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=\pm1\end{cases}}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right),\left(-1;1\right),\left(1;-1\right),\left(1;1\right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số 

\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2\frac{1}{x^2}}=2\)

\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2\frac{1}{y^2}}=2\)

Cộng vế với vế của BĐT : 

\(x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}\ge4\)

Dấu ''='' xxảy ra <=> \(x=y=\pm1\)

P/s : AM - GM cho 4 số đều được =)) 

ĐKXĐ : x² - 6x + 9 \(\ne\)0

<=> x \(\ne\)3

a) A = 0

=> 3x² - 11x + 6 = 0

<=> 3x² - 9x - 2x + 6 = 0

<=> 3x(x - 3) - 2(x - 3) = 0

<=> (3x - 2)(x - 3) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\left(tm\right)\\x=3\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)

Vậy x = 2/3 thì A = 0

b) Ta có A = \(\frac{3x^2-11x+6}{x^2-6x+9}=3+\frac{7x-21}{x^2-6x+9}=3+\frac{7}{x-3}\)

Để : A \(\inℤ\Leftrightarrow7⋮x-3\Leftrightarrow x-3\inƯ\left(7\right)\Leftrightarrow x-3\in\left\{1;7;-1;-7\right\}\)

Lập bảng xét các trường hợp 

Vậy \(x\in\left\{4;10;2;-4\right\}\)thì A \(\inℤ\)

Áp dụng định lý PYTAGO vào tam giác ABC có

BC^2=AB^2+AC^2= 9^2+12^2=225

=>BC= 15

Sabc= 1/2.AB.AC = 54 mà Sabc = 1/2.AH.BC 

=>1/2.AH = Sabc: BC = 3.6=> AH =7,2

mình ghi thiếu đề ạ:

Cho P=...  

\(P=\left(\frac{x^2+x-4}{x^2-2x-3}\right):\left(1-\frac{x-3}{x-2}\right)\)

\(=\frac{x^2+x-4}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}:\left(\frac{x-2-x+3}{x-2}\right)\)

\(=\frac{x^2+x-4}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}.\frac{x-2}{1}=\frac{\left(x^2+x-4\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

Tạm thời mình làm câu bất trước :)) Các câu Đại còn lại để tối mình làm nhé ( chiều mình bận với mình không giỏi Hình lắm )

Câu 6. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)(1)

Lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{1}=4\)(2)

Từ (1) và (2) => \(A\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)=> \(A\ge18\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

Vậy MinA = 18