\(\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+2}+\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+3}=\frac{7}{6}\)

ĐKXĐ : x ∈ R

Đặt t = x² + 2x + 2

pt <=> \(\frac{t-1}{t}+\frac{t}{t+1}=\frac{7}{6}\)( ĐKXĐ : t ≠ 0 ; t ≠ -1 )

<=> \(\frac{6\left(t-1\right)\left(t+1\right)}{6t\left(t+1\right)}+\frac{6t^2}{6t\left(t+1\right)}-\frac{7t\left(t+1\right)}{6t\left(t+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{6t^2-6}{6t\left(t+1\right)}+\frac{6t^2}{6t\left(t+1\right)}-\frac{7t^2+7t}{6t\left(t+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{6t^2-6+6t^2-7t^2-7t}{6t\left(t+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{5t^2-7t-6}{6t\left(t+1\right)}=0\)

=> 5t² - 7t - 6 = 0

<=> 5t² - 10t + 3t - 6 = 0

<=> 5t( t - 2 ) + 3( t - 2 ) = 0

<=> ( t - 2 )( 5t + 3 ) = 0

<=> t = 2 ( tm ) hoặc t = -3/5 ( tm )

=> x² + 2x + 2 = 2 hoặc x² + 2x + 2 = -3/5

<=> x² + 2x = 0 hoặc x² + 2x + 13/5 = 0

<=> x( x + 2 ) = 0 [ do x² + 2x + 13/5 = ( x + 1 )² + 8/5  ≥ 8/5 > 0 ∀ x ]

<=> x = 0 hoặc x = -2 ( tm )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 0 ; -2 }

x + y = 2

=> ( x + y )² = 4

<=> x² + 2xy + y² = 4

<=> 2xy + 10 = 4

<=> 2xy = -6

<=> xy = -3

Ta có : M = x³ + y³ = ( x + y )( x² - xy + y² ) = 2( 10 + 3 ) = 26

Ta có : \(x+y=2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy=4\)

Mà \(x^2+y^2=10\)

\(\Rightarrow10+2xy=4\)

\(\Rightarrow2xy=-6\)

\(\Rightarrow xy=-3\)

\(\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=2\left(10+3\right)=2.13=26\)

Vậy \(x^3+y^3=26\)

định lý Ceva

c) \(\frac{x^3-1}{x^2+x+1}+\frac{x^5-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}+\frac{x^7-1}{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}-2006\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}+\frac{\left(x-1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)}{x^4+x^3+x^2+x+1}+\frac{\left(x-1\right)\left(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)}{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}\)\(-2006\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)+\left(x-1\right)+\left(x-1\right)-2006\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)-2006\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2003\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy nghiệm của PT là x=1

Chú thích : Bài này sử dụng hằng đẳng thức mở rộng : \(a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^2+a+1\right)\)với n là số lẻ .