Ta có : \(a+\frac{1}{b}\le1\Leftrightarrow\frac{ab+1}{b}\le1\Rightarrow ab+1\le b\)  ( vì a ; b > 0 ) 

Mặt khác : \(2\sqrt{ab}\le ab+1\) ( BĐT Cô - si ) 

Suy ra : \(b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\Leftrightarrow\frac{b}{a}\ge4\)

Đặt b/a = t ( t >= 4 ) , ta có : \(A=\frac{1}{t}+t=\frac{1}{t}+\frac{t}{16}+\frac{15}{16}t\)

Đến đây bn làm nốt 

Bài 2 : 

Tìm min : Bình phương 

Tìm max : Dùng B.C.S ( bunhiacopxki )

Bài 3 : Dùng B.C.S

KP9

nói thế thì đừng làm cho nhanh bạn ạ

Người ta cũng có chút tôn trọng lẫn nhau nhé đừng có vì dăm ba cái tích 

Đặt: 

x = a + c - b ; y = a + b - c ; z = b + c - a > 0 vì a; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác 

=> x + y + z = a + b + c 

=> a = \(\frac{x+y}{2}\); b = \(\frac{y+z}{2}\); c = \(\frac{x+z}{2}\)

=> 3a - b + c = 2 a + ( a - b + c ) =  ( x  + y ) + x = 2x + y 

Tương tự: 3b - c + a = 2y + z ; 3c - a + b =  x + 2z

Đưa về bài toán: Chứng minh: 

\(\frac{x+y}{2\left(2x+y\right)}+\frac{y+z}{2\left(2y+z\right)}+\frac{z+x}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)

<=> \(\frac{2x+2y}{2x+y}+\frac{2y+2z}{2y+z}+\frac{2z+2x}{2z+x}\ge4\)(1)

Ta có: VT = \(1+\frac{y}{2x+y}+1+\frac{z}{2y+z}+1+\frac{x}{2z+x}\)

\(=3+\left(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\right)\)

\(=3+\left(\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}\right)\)

\(\ge3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=3+1=4\)

=> (1) đúng 

=> Bất đẳng thức ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z <=>  a = b = c

huyen

Áp dụng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu thức :\(LHS\ge a+b+c\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Nên bài toán của chúng ta cần chứng minh tương đương với :

\(\frac{4\left(a-b\right)^2}{a+b+c}\le0\)\(< =>4\left(a-b\right)^2\le0\)

Vậy dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

ĐKXĐ : \(y\ge0\) 

P/t (1) \(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-\left(x-y\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-1=0\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\pm1\\x=y\end{cases}}\)

Xét : \(x=\pm1\) . Với x = 1 và với x = -1 thay vào p/t (2) tìm y rồi đối chiếu ĐK

Xét : \(x=y\) Mà \(y\ge0\) nên \(x\ge0\Rightarrow\left|x\right|=x\)

Khi đó , p/t (2) \(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}-5\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{x}+2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}-5\sqrt{x}+\sqrt{x}+2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}-4\sqrt{x}+2=0\) 

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}=4\sqrt{x}-2\)  (1) 

Vì x >= 0 nên AD BĐT Cô - si ta được : \(x^4+1\ge2x^2\Rightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}\ge\sqrt{2.2x^2}=2x\) ( vì x >= 0 )    (2) 

Với x >= 0 ta luôn có : \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge0\Leftrightarrow2x-4\sqrt{x}+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}-2\le2x\) . (3)

Từ (1) ; (2) và (3) suy ra : \(VT=VP=2x\)

Dấu " = " xảy ra <=> x = 1 (t/m)

Mà x = y suy ra : y = 1 (t/m)

Vậy ...

Bài làm:

Ta có: \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{\left(x-1\right)-6\sqrt{x-1}+9}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\)

xong tới đây blabla tiếp nha, mk ms lp 8 nên cx chưa chuyên sâu lắm

Ta có: \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\) (ĐKXĐ: x \(\ge\)1)

<=> \(\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+9}=1\)

<=> \(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1\)

<=> \(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\)

<=> \(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|=1\)

Do \(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|\ge\left|\sqrt{x-1}-2+3-\sqrt{x-1}\right|=\left|1\right|=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(3-\sqrt{x-1}\right)\ge0\) 

TH1: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-2\ge0\\3-\sqrt{x-1}\ge0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}\ge2\\0\le\sqrt{x-1}\le3\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x\ge5\\1\le x\le10\end{cases}}\)=> \(5\le x\le10\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-2\le0\\3-\sqrt{x-1}\le0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}0\le\sqrt{x-1}\le2\\\sqrt{x-1}\ge3\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}1\le x\le5\\x\ge10\end{cases}}\)(loại)

Vậy S = \(\left\{x\left|5\le x\le10\right|\right\}\)

a) \(ĐKXĐ:x>0\)

\(Y=\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-1-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow Y=\frac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}+1\right)}{\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-1-2\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow Y=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-2\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow Y=x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow Y=x-\sqrt{x}-2\)

b) Ta có \(Y=x-\sqrt{x}-2=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\ge-\frac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

Vậy \(Min_Y=-\frac{9}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

c) Để \(Y-\left|Y\right|=0\)

\(\Leftrightarrow Y=\left|Y\right|\)

\(\Leftrightarrow Y\ge0\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\ge0\) (Vì \(\sqrt{x}+1\ge0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x\ge4\)  (ĐPCM)

bình phương 2 vế ?

a, \(\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}=5\left(ĐK:x\ge3\right)\)

\(< =>x+\sqrt{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=15\)

\(< =>\left(x-2\right)\left(x-3\right)=\left(15-x\right)\left(15-x\right)\)

\(< =>x^2-5x+6=x^2-30x+225\)

\(< =>25x-219=0\)

\(< =>x=\frac{219}{25}\)

sai đề rồi , mình sửa nốt 

\(\sqrt{7+2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{6}}\)

\(=\sqrt{6+2\sqrt{6}+1}+\sqrt{6-2\sqrt{6}+1}\)

\(=\sqrt{\sqrt{6}^2+2\sqrt{6}+\sqrt{1}^2}+\sqrt{\sqrt{6}^2-2\sqrt{6}+\sqrt{1}^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{1}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{6}-\sqrt{1}\right)^2}\)

\(=|\sqrt{6}+\sqrt{1}|+|\sqrt{6}-\sqrt{1}|\)

\(=\sqrt{6}+\sqrt{1}+\sqrt{6}-\sqrt{1}=2\sqrt{6}\)

Sửa đề:

\(\sqrt{7+2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{6}}\)

\(=\sqrt{6+2\sqrt{6}+1}+\sqrt{6-2\sqrt{6}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{6}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{6}-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{6}+1+\sqrt{6}-1\)

\(=2\sqrt{6}\)

Chúc bạn học tốt