Xét phân số tổng quát là: 

\(A=\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n+1}}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n}}\)

=>    \(A< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Thay từng số 1; 2; ....;  48 vào phân số tổng quát A

=>   \(S< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}}-\frac{1}{\sqrt{49}}\right)\)

=>   \(S< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{6}{7}\right)=\frac{3}{7}\)

VẬY    \(S< \frac{3}{7}\)

a) P = \(\left(\frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\right)^2.\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right)\)

P = \(\left(\frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}-1}{2\sqrt{a}}\right)^2\cdot\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2-\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

P = \(\frac{\left(a-1\right)^2}{4a}\cdot\frac{a-2\sqrt{a}+1-a-2\sqrt{a}-1}{a-1}\)

P = \(\frac{a-1}{4\sqrt{a}^2}\cdot\left(-4\sqrt{a}\right)\)

P = \(\frac{1-a}{\sqrt{a}}\)

b) với x > 0 và x khác 1

P < 0 => \(\frac{1-a}{\sqrt{a}}< 0\)

Do \(\sqrt{a}>0\) => 1 - a < 0 => a > 1

Vậy S = {a|a > 1}

Có 1 kiểu hơi khác Conan 1 tí -.-

\(a)P=\left(\frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}-1}{2\sqrt{a}}\right).\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2-\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(=\left(\frac{a-1}{2\sqrt{a}}\right)^2.\frac{a-2\sqrt{a}+1-a-2\sqrt{1}-1}{a-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(-4\sqrt{a}\right)}{\left(2\sqrt{a}\right)^2}\)

\(=\frac{\left(1-a\right).4\sqrt{a}}{4a}=\frac{1-a}{\sqrt{a}}\)

Vậy \(P=\frac{1-a}{\sqrt{a}}\)với a > 0 và \(a\ne1\)

b) Do a > 0 và a khác 1 nên P < 0 khi và chỉ khi :

\(\frac{1-a}{\sqrt{a}}< 0\Leftrightarrow1-a< 0\Leftrightarrow a>1\)

Ta có: \(x^2+\frac{1}{x^2}=14\)(1)

=> \(x^2+\frac{1}{x^2}+2=16\)

<=> \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=16\)

<=> \(x+\frac{1}{x}=4\) (Vì x > 0)

<=> \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=4^3\)

<=> \(x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=64\)

<=> \(x^3+\frac{1}{x^3}=64-3\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

<=> \(x^3+\frac{1}{x^3}=64-3.4=52\) (2)

Từ (1) và (2) nhân vế theo vế:

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=14.52=728\)

=> \(x^5+\frac{1}{x}+x+\frac{1}{x^5}=728\)

=> \(x^5+\frac{1}{x^5}=728-4=724\)

Để đồ thị hàm số y = (2m - 5)x - 3m + 4 đi qua P thì :

 \(-3=\left(2m-5\right).2-3m+4\)

\(\Leftrightarrow4m-10-3m+7=0\)

\(\Leftrightarrow m=3\)

Vậy ...

a) \(\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}\)

=4.5+14:7

=20+2

=22

b) chưa học nhó:))

Cảm ơn bạn nhỏ :))

Xét tổng: 

+) Hỏi rằng  các số: \(1^2;2^2;3^2;...;1982^2\) viết liền nhau và xếp theo một thứ tự nào đó thì có phải là số chính phương

Xét \(1^2+2^2+3^2+4^2+...+1982^2\)

\(=\frac{1982.\left(1982+1\right)\left(2.1982+1\right)}{6}\)

\(=991.661.3695\)

Ta có: \(9+9+1=19;1+9=10;1+0=1\)

\(661=6+6+1=13;1+3=4\)

\(3695=3+6+9+5=23;2+3=5\)

Và \(1.4.5=20;2+0=2\)

=> Số gốc của tổng \(1^2+2^2+3^2+4^2+...+1982^2\) bằng 2  khác 1; 4; 9; 7

=> \(1^2;2^2;3^2;...;1982^2\) có viết thành bất kì một thứ tự nào nữa cũng ko là số chính phương 

B = \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5-2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}\)

B = \(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+\sqrt{x}-1+5-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

B = \(\frac{x-4-\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

B = \(\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

B = \(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)

=>\(\frac{A}{B}=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=\frac{4\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}-5}\)

\(\frac{A}{B}< 4\) <=> \(\frac{4\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}-5}-4< 0\) <=> \(\frac{4\sqrt{x}+8-4\sqrt{x}+20}{\sqrt{x}-5}< 0\) <=> \(\frac{28}{\sqrt{x}-5}< 0\)

Do 28 > 0 => \(\sqrt{x}-5< 0\) <=> \(\sqrt{x}< 5\) => x < 25 

Do x là số tự nhiên lớn nhất => x = 24