1. Phương pháp 1: ( Hình 1)

        Nếu  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

    2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

        Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

       (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)

    3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

        Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

        ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

        a^’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

        - tiết 3 hình học 7)

        Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một

        đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)

    4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

        Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

        thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

        Cơ sở của phương pháp này là:                                                        

        Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

     * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,

                   thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

    5. Nếu K là trung điểm BD, K^’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K^’

       Là trung điểm BD  thì K^’  K thì A, K, C thẳng hàng.

      (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

                                                                Phương pháp 1

    Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA

                     (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm

                     D sao cho CD = AB.

                     Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

     Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

               Do nên cần chứng minh

BÀI GIẢI:

               AMB và CMD có:                                                       

                   AB = DC (gt).

                    MA = MC (M là trung điểm AC)                                              

               Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

               Mà   (kề bù) nên .

               Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà  AD = AB, trên tia đối

                     tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED

                      sao cho CM = EN.

                    Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh  từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

BÀI GIẢI (Sơ lược)

          ABC = ADE (c.g.c)

          ACM = AEN (c.g.c)

          Mà  (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối

          của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và

          CD.

          Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở

          phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia

          BC lấy điểm F sao cho BF = BA.

          Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm

          E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)

          Gọi M là trung điểm HK.

          Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ

          Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),

          trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.

          Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

          đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.

          Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

                                                              PHƯƠNG PHÁP 2

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên

                  Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung  

                 điểm BD và N là trung điểm EC.

                  Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2                                            

                  Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.

BÀI GIẢI.

                 BMC và DMA có:

                   MC = MA (do M là trung điểm AC)

                    (hai góc đối đỉnh)

                   MB = MD (do M là trung điểm BD)

                  Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

                   Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

                   Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

                   Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

                   và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 

   Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng  AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia

                 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho

                 D là trung điểm AN. 

Hiểu đây là bài toán đoạn thẳng cắt nhau :

Vậy có số cái bắt tay trong buổi họp đó là \(\frac{354\times\left(354-1\right)}{2}=62481\) (cái)

Có tất cả số cái bắt tay là : 

1 + 2 + 3 + ..... + 352 + 353 = 62481 ( cái bắt tay )

Đáp số : 62481 cái bắt tay

diện tích là 

23 * 13 = 299 (m2)

diện tích làm nhà là 

299 : 100 * 20 = 59,8 (m2)

Diện tích hình chữ nhật là:

23x13=299 m

Diện tích đất làm nhà là:

299:x20%=59,8 m

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

102 : 2  = 51( m )

Chiều dài hình chữ nhật là :

128 : 4 = 32 ( m )

Chiều dài hình chữ nhật là :

51 - 32 = 19 ( m)

Diện tích hình chữ nhật là :

32 x 19 = 608 ( m²)

                 Đáp số : 608 m²

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu đất là a , b (ĐK:a,b>0)

Tổng của chiều dài khu vườn và chiều rộng khu vườn là 2(a+b)=102 =>a+b = 56 (m)

Diện tích khu vườn ban đầu la S=a.b (m^2)

Khi tăng chiều rộng lên 4 thì chiều rộng là b+4 (m)

Diện tích khu vườn sau khi tăng chiều rộng lên 4 là : S1=(b+4)a = ab +4*a

Theo bài ra ta có 

S + 128 = S1 => S1-S = 128 => ab+4*a -ab = 128 =>4*a=128 =>a=32

Vậy chiều dài mảnh đất là 32 => 32 + b = 56 => b = 56-32 = 24(m)

Vậy diện tích khu vườn là S= 24*32 = 768 (m^2)

Đ/s: 768 (m^2)

Gia sư tất cả số tiền mẹ linh là tờ giấy bạc loại 100000d

Vậy thì mẹ linh số tiền là : 

50  . 100000=5000000(dong)

Số tiền dôi ra là :

5000000-2480000=2520000(dong)

Sở dĩ có số tiền dôi ra vì đã thấy tờ giấy bạc 50000 đồng và tờ giấy bạc 20000 đồng bằng tờ giấy bạc 100000dong 

Vì số tiền loại 20000 d gấp đôi số tiền loại 50000d nên mỗi lần thấy 2 tờ giấy bạc loại 20000d gấp đôi số tiền loại 50000d bằng 3 tờ giấy bạc loại 100000d thì số tiền đổi ra là  

3 . 100000 - 50000 -2 .20000=210000(dong )

Vậy phải thay số lần la:

2520000 : 210000=12(lan)

Số tiền loại 50000d là :

1 .12 =12(to )

Số tiền loại 20000d là :

2.12 = 24 (to)

Số tiền loại 100000d la :

50 - 12 - 24 = 14 (to)

Vậy : loại 500000d :12 tờ ;loại 20000d :24 to ;loại 100000 đ :14 to

Giả sử tất cả số tiền mẹ lĩnh là tờ giấy bạc loại 100000đ

Vậy thì mẹ lĩnh số tiền là: 50 x 100000 = 5000000 (đồng)

Số tiền dôi ra là: 5000000 – 2480000 = 2520000 (đồng)

Sở dĩ có số tiền dôi ra vì đã thay tờ giấy bạc 50000 đồng và tờ giấy bạc 20000 đồng bằng tờ giấy bạc 100000 đồng.

Vì số tiền loại 20000đ gấp đôi số tiền loại 50000đ nên mỗi lần thay 2 tờ giấy bạc loại 20000đ và 1 tờ giấy bạc 50000đ bằng 3 tờ giấy bạc loại 100000đ thì số tiền dôi ra là: 

3 x 100000 – 50000 – 2 x 20000 = 210000 (đồng)

Vậy phải thay số lần là:

2520000 : 210000 = 12 (lần)

Số tiền loại 50000đ là:

1 x 12 = 12 (tờ)

Số tiền loại 20000đ là:

2 x 12 = 24 (tờ)

Số tiền loại 100000đ là:

50 – 12 – 24 = 14 (tờ)

Đáp số: loại 50000đ : 12 tờ; loại 20000đ: 24 tờ; loại 100000 đồng : 14 tờ

 a) Số các số hạng: (2009 – 2) : 3 + 1 = 670.

Số hạng thứ 99 là: (99 – 1) 3 + 2 = 296.

b) Dãy số 2, 5, 8 có 3 chữ số. Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có [(98 – 11) : 3 + 1] 2 = 60 chữ số. Có 3 < 50 < 60 nên chữ số thứ 50 của dãy số đã cho thuộc dãy số 11, 14, 17, …, 98.

Chữ số thứ 50 của dãy số đã cho là chữ số thứ 50 – 3 = 47 của dãy số 11, 14, 17, …, 98.

Ta có 47 : 2 = 23 (dư 1) nên chữ số thứ 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98 là chữ số thứ 1 của số hạng thứ 24 của dãy số 11, 14, 17, …, 98. Số hạng thứ 24 là (24 – 1) 3 + 11 = 80. Vậy chữ số cần tìm là chữ số 8.

Đáp số : a) 670 số hạng ; 296

b) 8

a) Số các số hạng: (2009 – 2) : 3 + 1 = 670.

Số hạng thứ 99 là: (99 – 1) 3 + 2 = 296.

b) Dãy số 2, 5, 8 có 3 chữ số. Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có [(98 – 11) : 3 + 1] 2 = 60 chữ số. Có 3 < 50 < 60 nên chữ số thứ 50 của dãy số đã cho thuộc dãy số 11, 14, 17, …, 98.

Chữ số thứ 50 của dãy số đã cho là chữ số thứ 50 – 3 = 47 của dãy số 11, 14, 17, …, 98.

Ta có 47 : 2 = 23 (dư 1) nên chữ số thứ 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98 là chữ số thứ 1 của số hạng thứ 24 của dãy số 11, 14, 17, …, 98. Số hạng thứ 24 là (24 – 1) 3 + 11 = 80. Vậy chữ số cần tìm là chữ số 8.

Đáp số : a) 670 số hạng ; 296

b) 8

                      Nửa chu vi gấp số lần hiệu giữa chiều dài và chiều rộng là:

                                    10 : 2 = 5 (lần)

              Nửa chu vi chính là tổng của chiều dài và chiều rộng

Ta có sơ đồ: Dài + Rộng :l-----l-----l-----l-----l-----l

                   Dài - Rộng   :l-----l

                            2 lần chiều dài chiếm số phần là: (Dài + Rộng + Dài - Rộng = 2 Dài)

                                5 + 1 =6 (phần)  

                          2 lần chiều rộng chiếm số phần là:

                               5-1 = 4(phần)

                 Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là:

                                6 : 4  = 3/2 (lần)

làm lại:

Gọi chiều dài hcn là a, chiều rộng hcn là b [a và b cùng đơn vị]

Ta có :

2 x [a+b] = 10 x [a-b] => a+b = 5 x [a-b] = 5 x a -5 x b 

=> b = 4 x a -5x b

=> 4 x a = 6 x b

=> a : b = 6:4=3/2

Vậy tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là 3/2

k có 3 STN liên tiếp chia hết cho 9 Vì nếu a chia hết cho9 thì a+1;a-1;a+2 sẽ k chia hết cho 9

số đó chia cho 6 dư 3

số đó chia cho 6 dư 3