Theo bài ra ta có : 

\(f\left(3\right)=a.3^2+3b+c=9a+3b+c\)

\(f\left(-2\right)=a\left(-2\right)^2+b\left(-2\right)+c=4a-2b+c\)

hay \(f\left(3\right).f\left(2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(9a+3b+c\right)\left(4a-2b+c\right)=0\)

Dấu ''='' xảy ra <=> \(a=b=c=0\)( thỏa mãn điều kiện )

Cộng từng vế các đẳng thức trên, ta đc:

x+y+z=2(ax+by+cz)

Ta có:x=by+cz 

=>ax+x=by+cz+ax

=>x.(a+1)=ax+by+cz

=>1/a+1=x/ax+by+cz 

CM tương tự ta cũng có:1/b+1=y/ax+by+cz

                                        1/c+1=z/ax+by+cz

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta đc:

M=1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=(x+y+z)/(ax+by+cz)=2(ax+by+cz)/(ax+by+cz)=2

Vậy M=2

Ta có: x=by+cz (1)

          y=cz+ax  (2)

          z=ax+by  (3)

Cộng từng vế (1);(2) và (3) ta được:

\(x+y+z=\left(by+cz\right)+\left(cz+ax\right)+\left(ax+by\right)=\left(ax+ax\right)+\left(by+by\right)+\left(cz+cz\right)=2ax+2by+2cz=2\left(ax+by+cz\right)\)

Từ x=by+cz

=>ax+x=ax+by+cz

=>x.(a+1)=ax+by+cz

=>\(\frac{1}{a+1}=\frac{x}{ax+by+cz}\)   (4)

Từ y=cz+ax

=>y+by=ax+by+cz

=>y.(b+1)=ax+by+cz

=>\(\frac{1}{b+1}=\frac{y}{ax+by+cz}\)  (5)

Từ z=ax+by

=>z+cz=ax+by+cz

=>z.(c+1)=ax+by+cz

=>\(\frac{1}{c+1}=\frac{z}{ax+by+cz}\) (6)

Cộng từng vế của (4);(5) và (6) ta được:

\(M=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{x}{ax+by+cz}+\frac{y}{ax+by+cz}+\frac{z}{ax+by+cz}=\frac{x+y+z}{ax+by+cz}\)

Mà x+y+z=2(ax+by+cz)

=>\(M=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2\left(ax+by+cz\right)}{ax+by+cz}=2\)

Ta có \(\left|x-2002\right|+\left|x-2001\right|=\left|2002-x\right|+\left|x-2001\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|\text{b }\right|\ge\left|a+b\right|\) dấu đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0\)

Khi đó ta có \(\left|2002-x\right|+\left|x-2001\right|\ge\left|x-2001+2002-x\right|=\left|1\right|=1\)

Vậy min của biểu thức trên bằng 1 khi \(\left(x-2001\right)\left(2002-x\right)\ge0\) tức là \(2001\le x\le2002\)

Ta có x² + x + 1 
= x² + x + 4/4 
= x² + x + 1/4 + 3/4 
= (x² + x + 1/4) + 3/4 
= (x² + 2.x.(1/2) + (1/2)² ) + 3/4 
= (x + 1/2)² + 3/4 
Do (x + 1/2) ≥ 0 ∀ x ∈ R 
=> (x + 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ∈ R 
=> x² + x + 1 > 0 ∀ x ∈ R 
=> đpcm

Ta có x² + x + 1 
= x² + x + 4/4 
= x² + x + 1/4 + 3/4 
= (x² + x + 1/4) + 3/4 
= (x² + 2.x.(1/2) + (1/2)² ) + 3/4 
= (x + 1/2)² + 3/4 
Do (x + 1/2) ≥ 0 ∀ x ∈ R 
=> (x + 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 ∀ x ∈ R 
=> x² + x + 1 > 0 ∀ x ∈ R 
=> đpcm