a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

b:

Gọi giao điểm của AD,BE,CF là H

Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{HFE}=\widehat{HAE}\)(AFHE nội tiếp)

\(\widehat{HFD}=\widehat{HBD}\)(BFHD nội tiếp)

mà \(\widehat{HAE}=\widehat{HBD}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{HFE}=\widehat{HFD}\)

=>\(\widehat{CFE}=\widehat{CFD}\)

=>FC là phân giác của góc EFD

a: Xét ΔIAB và ΔIMD có

\(\widehat{IAB}=\widehat{IMD}\)(hai góc so le trong, AB//MD)

\(\widehat{AIB}=\widehat{MID}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAB~ΔIMD

=>\(\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{AB}{MD}=\dfrac{AB}{MC}\left(1\right)\)

Xét ΔKAB và ΔKCM có

\(\widehat{KAB}=\widehat{KCM}\)(hai góc so le trong, AB//CM)

\(\widehat{AKB}=\widehat{CKM}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAB~ΔKCM

=>\(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KM}=\dfrac{AB}{CM}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KB}{KM}=\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IB}{ID}\)

=>\(\dfrac{MI}{IA}=\dfrac{MK}{KB}\)

Xét ΔMAB có \(\dfrac{MI}{IA}=\dfrac{MK}{KB}\)

nên IK//AB

Ta có: IK//AB

AB//CD
Do đó: IK//CD
b: Xét ΔMAB có IK//AB

nên \(\dfrac{IK}{AB}=\dfrac{MI}{MA}\)

=>\(\dfrac{AB}{IK}=\dfrac{MA}{MI}=1+\dfrac{IA}{IM}=1+\dfrac{AB}{MD}\)

=>\(\dfrac{AB}{IK}=1+\dfrac{AB}{\dfrac{CD}{2}}\)

=>\(\dfrac{AB}{IK}=1+\dfrac{2AB}{CD}\)

=>\(AB\left(\dfrac{1}{IK}-\dfrac{2}{CD}\right)=1\)

=>\(\dfrac{1}{IK}-\dfrac{2}{CD}=\dfrac{1}{AB}\)

=>\(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{2}{CD}=\dfrac{1}{IK}\)

\(\left(2x^2-3\right)^2-16\left(x+3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-3\right)^2-\left[4\left(x+3\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(2x^2-3\right)-4\left(x+3\right)\right]\left[\left(2x^2-3\right)+4\left(x+3\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-4x-15\right)\left(2x^2+3x+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x^2-4x-15=0\\2x^2+3x+9=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\left(x^2-2x\right)-15=0\\2\left(x^2+\dfrac{3}{2}x\right)+9=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\left(x^2-2x+1\right)-2-15=0\\2\left[x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\right]-2\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+9=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\left(x-1\right)^2=17\\2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{63}{8}=0\left(\text{vô lí}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=\dfrac{17}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\\x-1=-\dfrac{\sqrt{34}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+\sqrt{34}}{2}\\x=\dfrac{2-\sqrt{34}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy pt đã cho có nghiệm là: \(x\in\left\{\dfrac{2+\sqrt{34}}{2};\dfrac{2-\sqrt{34}}{2}\right\}\).

Tính hợp lý:

Chứng minh định lý:

Kẻ AH vuông góc với BC.

Ta có:

• ΔADE và ΔADH có:

  • Góc ADE = Góc ADH (= 90 độ)
  • AD chung
  • Góc DAE = Góc HAD (cùng phụ với góc EAD) => ΔADE ~ ΔADH (g-g) => DE/DH = AD/AE (1)

• ΔCDG và ΔCDH có:

  • Góc CDG = Góc CDH (= 90 độ)
  • CD chung
  • Góc DGC = Góc HDG (cùng phụ với góc CDG) => ΔCDG ~ ΔCDH (g-g) => DG/DH = CD/CE (2)

Nhân (1) và (2), ta được:

DE/DH . DG/DH = AD/AE . CD/CE => DE . DG = AD . CD

Vậy DB . DC = DE . DG (đpcm)

a) Xét hai tam giác vuông: \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABD\) ∽ \(\Delta ACE\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\)

\(\Rightarrow AE.AB=AD.AC\)

b) Do \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{A}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ADE\) ∽ \(\Delta ABC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

7(x+y)-2xy=5

=>7x-2xy+7y=5

=>x(-2y+7)+7y-24,5=-19,5

=>\(-2x\left(y-3,5\right)+7\left(y-3,5\right)=-19,5\)

=>\(\left(-2x+7\right)\left(y-3,5\right)=-19,5\)

=>\(\left(-2x+7\right)\left(2y-7\right)=-39\)

=>\(\left(2x-7\right)\left(2y-7\right)=39\)

=>\(\left(2x-7\right)\left(2y-7\right)=1\cdot39=39\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-39\right)=\left(-39\right)\cdot\left(-1\right)=3\cdot13=13\cdot3=\left(-3\right)\cdot\left(-13\right)=\left(-13\right)\cdot\left(-3\right)\)

=>\(\left(2x-7;2y-7\right)\in\left\{\left(1;39\right);\left(39;1\right);\left(-1;-39\right);\left(-39;-1\right);\left(3;13\right);\left(13;3\right);\left(-3;-13\right);\left(-13;-3\right)\right\}\)

=>\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(4;23\right);\left(23;4\right);\left(3;-16\right);\left(-16;3\right);\left(5;10\right);\left(10;5\right);\left(2;-3\right);\left(-3;2\right)\right\}\)

!!!!!

lol

Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAGB vuông tại G có

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔAEC~ΔAGB

=>\(\dfrac{AE}{AG}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AG\cdot AC\)

Xét ΔGCB vuông tại G và ΔFAC vuông tại F có

\(\widehat{GCB}=\widehat{FAC}\)(hai góc so le trong, CB//AD)

Do đó: ΔGCB~ΔFAC

=>\(\dfrac{CB}{AC}=\dfrac{GC}{FA}\)

=>\(AF\cdot BC=AC\cdot GC=AF\cdot AD\)

\(AB\cdot AE+AD\cdot AF\)

\(=AG\cdot AC+CG\cdot AC=AC\left(AG+CG\right)=AC^2\)