a) \(\frac{1}{x-1+\sqrt{x^2-2x+3}}+\frac{1}{x-1-\sqrt{x^2-2x+3}}=1\)

ĐKXĐ : \(x\inℝ\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1-\sqrt{x^2-2x+3}}{\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+3}\right)\left(x-1-\sqrt{x^2-2x+3}\right)}+\frac{x-1+\sqrt{x^2-2x+3}}{\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+3}\right)\left(x-1-\sqrt{x^2-2x+3}\right)}=\frac{\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+3}\right)\left(x-1-\sqrt{x^2-2x+3}\right)}{\left(x-1+\sqrt{x^2-2x+3}\right)\left(x-1-\sqrt{x^2-2x+3}\right)}\)

\(\Rightarrow2x-2=\left[\left(x-1\right)+\left(\sqrt{x^2-2x+3}\right)\right]\left[\left(x-1\right)-\left(\sqrt{x^2-2x+3}\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow2x-2=\left(x-1\right)^2-\left(\sqrt{x^2-2x+3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x-2=x^2-2x+1-\left(x^2-2x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-2=x^2-2x+1-x^2+2x-3\)

\(\Leftrightarrow2x-2=-2\)

\(\Leftrightarrow2x=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

\(a,\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2-2\sqrt{x-2}+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}\right)^2=1^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}-1=1\\\sqrt{x-2}-1=-1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=2\\\sqrt{x-2}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x-2}\right)^2=2^2\\\left(\sqrt{x-2}\right)=0^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2=4\\x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\x=2\end{cases}}\)

a) \(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}\)=1

⇔\(\sqrt{x-2-2\sqrt{x-2}+1}\)=1

⇔\(\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}\)=1

⇔(\(\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}\))²=1²

⇔(\(\sqrt{x-2}\)-1)²=1

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}-1=1\\\sqrt{x-2}-1=-1\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=2\\\sqrt{x-2}=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=4\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\x=2\end{matrix}\right.\)

      Vậy phương trình có 2 nghiệm là x=6; x=2

b) \(\sqrt{x+\sqrt{x+5}}\)+\(\sqrt{x-\sqrt{x+5}}\)=2\(\sqrt{2}\)    ( đk: x≥-5)

⇔ x+\(\sqrt{x^2-x-5}\)=4

⇔\(\sqrt{x^2-x-5}\)=4-x  

⇔(\(\sqrt{x^2-x-5}\))²= ( 4-x)²

⇔x²-x-5= 16-8x+x²

⇔x²-x+8x-x²=16+5

⇔ 7x=21

⇔x=3 ( thỏa mãn điều kiện xác định) 

Lê Duy Khương vừa thiếu ĐKXĐ vừa sai ._.

a) \(1+\sqrt{x^2-2x+6}=2x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+6}=2x-1\)

ĐKXĐ : \(x\ge\frac{1}{2}\)

Bình phương hai vế

<=> x² - 2x + 6 = 4x² - 4x + 1

<=> 4x² - 4x + 1 - x² + 2x - 6 = 0

<=> 3x² - 2x - 5 = 0 (*)

Dễ thấy (*) có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm phân biệt x₁ = -1 (ktm) ; x₂ = 5/3 (tm)

Vậy phương trình có nghiệm x = 5/3

b) \(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-8}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+7}=2+\sqrt{x^2-8}\)

ĐKXĐ : \(\orbr{\begin{cases}x\ge2\sqrt{2}\\x\le-2\sqrt{2}\end{cases}}\)

Đặt t = x² + 7

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{t}=2+\sqrt{t-15}\)( t ≥ 15 )

Bình phương hai vế

<=> \(t=t-15+4\sqrt{t-15}+4\)

<=> \(4\sqrt{t-15}=11\)

<=> \(\sqrt{t-15}=\frac{11}{4}\)

<=> t - 15 = 121/16

<=> t = 361/16 (tm)

=> x² + 7 = 361/16

<=> x² = 249/16

<=> \(x=\frac{\pm\sqrt{249}}{4}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pm\sqrt{249}}{4}\)

a)

    \(1+\sqrt{x^2-2x+6}=2x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+6}=2x-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+6=\left(2x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+6=4x^2-4x+1\)

\(\Leftrightarrow4x^2-2x-5=0\)

 Ta có    \(\Delta'=b'^2-ac=\left(-1\right)^2-4.\left(-5\right)=21>0\)

        Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

   \(x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{4}\)    ; \(x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\)

b)

     \(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-8}=2\)

     \(\sqrt{x^2+7}=2+\sqrt{x^2-8}\)  

  ĐKXĐ:  \(x\ne\pm\sqrt{8}\)

      Khi đó ta có

           \(x^2+7=x^2-8+2.2.\sqrt{x^2-8}+4\)

       \(\Leftrightarrow4\sqrt{x^2-8}=4-8-7=-11\)

       \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-8}=-\frac{11}{4}\)   ( vô lí )

  Vậy phương trình vô nghiệm

a) \(x=-2\)

b) \(x=6\)

a) \(\sqrt{14-x}\)+\(\sqrt{2-x}\)=6 ( đk: x<14 <; x<2)

⇔\(\sqrt{14-x}\)=6-\(\sqrt{2-x}\)

⇔(\(\sqrt{14-x}\))²= ( 6-\(\sqrt{2-x}\))²

⇔14-x= 36-12\(\sqrt{2-x}\)+2-x

⇔-x+x+12\(\sqrt{2-x}\)= -14+36+2

⇔12\(\sqrt{2-x}\)= 24

⇔\(\sqrt{2-x}\)=2

⇔(\(\sqrt{2-x}\))²= 4 

⇔2-x=4

⇔-x=2 

⇔x=-2 ( thỏa man điều kiện xác định)

          Vậy x=-2

b)\(\sqrt{x+3}\)-\(\sqrt{x-5}\)=2 ( đk :x≥5) 

⇔\(\sqrt{x+3}\)= 2+\(\sqrt{x-5}\)

⇔(\(\sqrt{x+3}\))²= (2+\(\sqrt{x-5}\))²

⇔x+3= 4 +4\(\sqrt{x-5}\) +x-5

⇔x-x-\(4\sqrt{x-5}\)= -3+4-5

⇔ \(-4\sqrt{x-5}\)=-4

⇔\(\sqrt{x-5}\)=1

⇔x-5=1

⇔x=6 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy x=6 

a) \(\sqrt{x+2}=4-x\)

ĐKXĐ : \(-2\le x\le4\)

Bình phương hai vế

<=> x + 2 = x² - 8x + 16

<=> x² - 8x + 16 - x - 2 = 0

<=> x² - 9x + 14 = 0 (*)

Δ = b² - 4ac = 81 - 56 = 25

Δ > 0 nên (*) có hai nghiệm phân biệt : x₁ = -2 (tm) ; x₂ = -7 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

b) \(\sqrt{x^2+1}=5-x^2\)

ĐKXĐ : \(-\sqrt{5}\le x\le\sqrt{5}\)

Bình phương hai vế

<=> x² + 1 = x⁴ - 10x² + 25

<=> x⁴ - 10x² + 25 - x² - 1 = 0

<=> x⁴ - 11x² + 24 = 0 (1)

Đặt t = x² ( t ≥ 0 )

(1) <=> t² - 11t + 24 = 0 (*)

Δ = b² - 4ac = 121 - 96 = 25

Δ > 0 nên (*) có hai nghiệm phân biệt : t₁ = 8 (tm) ; t₂ = 3(tm)

=> x² = 8 hoặc x² = 3

=> x = ±2√2 (loại) hoặc x = ±√3 (tm)

Vậy phương trình có nghiệm x = ±√3

dễ quá b ơi

giải đi

\(3\left(x^2-x+1\right)^2-2\left(x+1\right)^2=5.\)\(\left(x^3+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2-x+1\right)^2-2\left(x+1\right)^2=5\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

Đặt \(x+1=a,x^2-x+1=b\), phương trình trở thành:

\(3b^2-2a^2=5ab\) 

\(\Leftrightarrow3b^2-5ab-2a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(3b+a\right)\left(b-2a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[3\left(x^2-x+1\right)+x+1\right]\left[x^2-x+1-2\left(x+1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-2x+4\right)\left(x^2-3x-1\right)=0\)

Vì \(3x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+2x^2+3>0\forall x\)nên:

\(x^2-3x-1=0:\left(3x^2-2x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{13}{4}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\\x-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{cases}}}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\right\}\)

\(2\left(x^2+x+1\right)^2-7\left(x-1\right)^2=13\)\(\left(x^3-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+x+1\right)^2-7\left(x-1\right)^2=13\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

Đặt \(x-1=a,x^2+x+1=b\), phương trình trở thành:

\(2b^2-7a^2=13ab\)\(x=4\)

\(\Leftrightarrow2b^2-13ab-7a^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-7a\right)\left(a+2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2+x+1-7\left(x-1\right)\right]\left[x-1+2\left(x^2+x+1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x+8\right)\left(2x^2+3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(2x+1\right)\left(x+1\right)=0\)

-Xét các trường hợp sau:

+Với \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

+Với \(x-4=0\Leftrightarrow x=4\)

+Với \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

+Với \(2x+1=0\Leftrightarrow x=-0,5\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{-1;-0,5;2;4\right\}\)

\(x^4-9x^2+24x-16=\)\(0\)

\(\Leftrightarrow x^4-\left(9x^2-24x+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-\left(3x-4\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x-4\right)\left(x^2-3x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x-1\right)\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\right]=0\)

Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\forall x\)nên:

\(\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0:\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+4=0\\x-1=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-4\\x=1\end{cases}}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{1;-4\right\}\)

\(x^4=6x^2+12x+\)\(8\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1=4x^2+12x+9\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2=\left(2x+3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow|x^2-1|=|2x+3|\)\(|\)

xét các trường hợp:

- Trường hợp 1:

\(x^2-1=2x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-1-2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-5=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=\sqrt{5}\\x-1=-\sqrt{5}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1+\sqrt{5}\\x=1-\sqrt{5}\end{cases}}}\)

-Trường hợp 2:

\(x^2-1=-2x-3\)

\(\Leftrightarrow x^2-1+2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=-1\left(vn\right)\)(vô nghiệm)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S=\left\{1\pm\sqrt{5}\right\}\)

* Vì \(a,b\ge1\)nên \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

Một cách tương tự: \(bc+1\ge b+c;ca+1\ge c+a\)

Với mọi số thực \(a\ge1\) ta luôn có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2\ge2a-1\Leftrightarrow\frac{1}{2a-1}\ge\frac{1}{a^2}\)

Tương tự: \(\frac{1}{2b-1}\ge\frac{1}{b^2};\frac{1}{2c-1}\ge\frac{1}{c^2}\)

Từ đó suy ra \(VT\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{4ab}{ab+1}+\frac{4bc}{bc+1}+\frac{4ca}{ca+1}\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+4-\frac{4}{ab+1}+4-\frac{4}{bc+1}+4-\frac{4}{ca+1}\)\(\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}-\frac{4}{ab+1}-\frac{4}{bc+1}-\frac{4}{ca+1}+12\)\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}-\frac{4}{a+b}-\frac{4}{b+c}-\frac{4}{c+a}+12\)\(=\left(\frac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\frac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\frac{2}{c+a}-1\right)^2+9\ge9\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

cảm ơn ạ