Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khi đó \(\frac{a^4}{b+2}=\frac{1}{3}\)

Ta cần ghép \(\frac{a^4}{b+2}\)với hạng tử \(k\left(b+2\right)\)thỏa mãn khi Cô-si thì dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

Lại có \(b+2=3\)

Đồng thời khi Cô-si dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^4}{b+2}=k\left(b+2\right)\)hay \(\frac{1}{3}=k.3\)\(\Leftrightarrow k=\frac{1}{9}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a^4}{b+2}\)và \(\frac{b+2}{9}\), ta có:

\(\frac{a^4}{b+2}+\text{​​}\frac{b+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b+2}.\frac{b+2}{9}}=\frac{2a^2}{3}\)

Tương tự, ta có \(\frac{b^4}{c+2}+\text{​​}\frac{c+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{b^4}{c+2}.\frac{c+2}{9}}=\frac{2b^2}{3}\)và 

\(\frac{c^4}{a+2}+\text{​​}\frac{a+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{c^4}{a+2}.\frac{a+2}{9}}=\frac{2c^2}{3}\)

CỘng vế theo vế từng BĐT, ta được \(P+\frac{a+2+b+2+c+2}{9}\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\ge2\)(vì \(a^2+b^2+c^2=3\)) \(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\)(1)

Ta chứng minh BĐT phụ \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(với \(a,b,c>0\))

Thật vậy, BĐT này \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le3a^2+3b^2+3c^2\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy BĐT phụ được chứng minh \(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\sqrt{3.3}=3\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\ge2-\frac{3+6}{9}=1\)\(\Rightarrow min_P=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

t ko bic

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(a^2+3\ge2\sqrt{3a^2}=2\sqrt{3}a\)

Tương tự: \(b^2+3\ge2\sqrt{3}b\) ; \(c^2+3\ge2\sqrt{3}c\)

Cộng vế: \(a^2+b^2+c^2+9\ge2\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{2\sqrt{3}}=\dfrac{9+9}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow-\left(a+b+c\right)\ge-3\sqrt{3}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

\(\dfrac{a^4}{b+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(b+2\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^4\left(b+2\right)}{\left(b+2\right)\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}=\dfrac{6a^2}{2+\sqrt{3}}\) 

Tương tự:

\(\dfrac{b^4}{c+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(c+2\right)\ge\dfrac{6b^2}{2+\sqrt{3}}\)

\(\dfrac{c^4}{a+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)}\left(a+2\right)\ge\dfrac{6c^2}{2+\sqrt{3}}\)

Cộng vế:

\(P+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(a+b+c+6\right)\ge\dfrac{6}{2+\sqrt{3}}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}-\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(a+b+c+6\right)\ge\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}-\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}.\left(3\sqrt{3}+6\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{27}{2+\sqrt{3}}=27\left(2-\sqrt{3}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{81}{12}=\dfrac{27}{4}\)

Dấu "=" ⇔ a=b=c=3

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{9}{16}\left(b+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^2\left(b+1\right)}{16\left(b+1\right)}}=\dfrac{3a}{2}\) 

Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{9}{16}\left(c+1\right)\ge\dfrac{3b}{2}\) ; \(\dfrac{c^2}{a+1}+\dfrac{9}{16}\left(a+1\right)\ge\dfrac{3c}{2}\)

Cộng vế:

\(VT+\dfrac{9}{16}\left(a+b+c+3\right)\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{2}\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Kiểm tra lại mẫu số của 3 phân thức

Mẫu số của \(b+1\ne c+2,a+2.\)

Xem lại đề bạn

\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{9^2}{9+3}=\dfrac{27}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Chứng minh BĐT \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) với \(\left(a,b,c>0\right)\)

Trước hết ta cm \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2b+y^2a}{ab}\ge\frac{x^2+y^2+2xy}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2b+y^2a\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+y^2+2xy\right)\)(vì tất cả các tử số và mẫu số đều dương)

\(\Leftrightarrow x^2ab+y^2ab+x^2b^2+y^2a^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)\(\Leftrightarrow x^2b^2-2abxy+y^2a^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(xb-ya\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy BĐT được cm 

Để có đpcm thì ta chỉ cần áp dụng 2 lần BĐT ta vừa chứng minh xong:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Gọi quãng đường AB là x (km)

Thời gian xe máy đi từ A đến B là: x/40(h)

Thời gian xe máy đi từ B về A là: x/50(h)

Đổi 45 phút=3/4 h

Ta có phương trình:

x/40 -x/50 = 3/4

=> 5x - 4x = 150

<=> x = 150

Vậy quãng đường AB dài 150 km

mhhghhgvhghgvhgvhcf

\(Q=\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{2}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}+y+\dfrac{2}{y}\right)^2\)

\(Q\ge\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2\sqrt{\dfrac{x}{x}}+2\sqrt{\dfrac{y}{y}}+\dfrac{4}{x+y}\right)^2\)

\(Q\ge\dfrac{1}{2}\left(4+\dfrac{4}{x+y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(4+\dfrac{4}{2}\right)^2=18\)

\(Q_{min}=18\) khi \(x=y=1\)

22+3000

Đề chép sai rồi kìa.

\(\left(x+\frac{2}{x}\right)^2+\left(y+\frac{2}{y}\right)^2=x^2+y^2+\frac{4}{x^2}+\frac{4}{y^2}+4+4\)

\(=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{y^2}\right)+\left(\frac{3}{x^2}+3x+3x\right)+\left(\frac{3}{y^2}+3y+3y\right)-6\left(x+y\right)+8\)

\(\ge2+2+9+9-6.2+8=18\)

\(C=x^2+y^2+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{4}{y^2}\)

\(=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)+3\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương, ta có:

\(C\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{y^2}}+3\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

\(=4+3\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(C\ge4+3.\dfrac{4}{x^2+y^2}=4+\dfrac{12}{x^2+y^2}\) 

\(C\ge4+\dfrac{12}{2}=4+6=10\)\(\left(x^2+y^2\le2\right)\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=1\)

\(C=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)+3\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

\(C\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}}+2\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2}}+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge4+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2\ge4+\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{4}{2}\right)^2=10\)

\(C_{min}=10\) khi \(x=y=1\)