Gọi vận tốc của vật chuyển động nhanh là $x\left(cm/s\right)$  và vận tốc của vật chuyển động chậm hơn là $y\left(cm/s\right).$  $\left(x>y>0\right).$

Chu vi của đường tròn là:  $S=2\pi .20=40\pi cm.$

Khi chuyển động cùng chiều thì sau 20 giây chúng lại gặp nhau tức là vật chuyển động nhanh sẽ đi nhanh hơn vật chuyển động chậm 1 vòng. Khi đó ta có phương trình:

$20x-20y=40\pi \iff x-y=2\pi .\left(1\right)$

Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau tức là sau 4 giây thì tổng quãng đường hai vật đi được bằng 1 vòng tròn. Khi đó ta có phương trình:

$4x+4y=40\pi \iff x+y=10\pi .\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

$\{\begin{array}{c}x-y=2\pi \\ x+y=10\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=6\pi \left(tm\right)\\ y=4\pi \left(tm\right)\end{array}.$

Vậy vận tốc của vật chuyển động nhanh là $6\pi cm/s$  và  vận tốc của vật chuyển động chậm hơn là $4\pi cm/s$

Vậy vận tốc hai vật lần lượt là 6pi$4\pi$ km/h.

Gọi vận tốc của xe ô tô đi từ A đến B là x3/x+3/y=300⇔x+y=100.   (1)3x+3y=300⇔x+y=100.   (1)

Thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ 2 là 2,5h nên :

$\frac{300}{x}-\frac{300}{y}=2,5\iff 120y-120x=xy\left(2\right).$

Thay $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có phương trình: $120\left(100-x\right)-120x=x\left(100-x\right)$

$\begin{array}{c}\iff 12000-120x-120x=100x-x^2\\ \iff x^2-340x+12000=0\\ \iff \left(x-300\right)\left(x-40\right)=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x-300=0\\ x-40=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=300\left(ktm\right)\\ x=40\left(tm\right)\end{array}.$

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là $40km/h$ và vận tốc của xe thứ hai là: $100-40=60km/h.$

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x ( km/h ; x > 0 )

=> Thời gian ô tô dự kiến đến B = 90/x ( giờ )

Thực tế vận tốc của ô tô = x+5 (km/h)

Khi đó thời gian ô tô đến B trên thực tế = 90/x+5 + 1/5 ( giờ )

Theo bài ra ta có phương trình : \(\frac{90}{x}=\frac{90}{x+5}+\frac{1}{5}\)

<=> \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{450}\)<=> \(\frac{5}{x\left(x+5\right)}=\frac{1}{450}\)

=> 2250 = x² + 5x

<=> x² + 5x - 2250 = 0

Δ = b² - 4ac = (5)² - 4.(-2250) = 9025

Δ > 0, áp dụng công thức nghiệm thu được x₁ = 45 (tm) ; x₂ = -50 (ktm)

Vậy ...

gọi vận tốc dự định của xe là x (x>0)

vận tốc xe khi đi được \(\dfrac{1}{3}\)quãng đường là x+10

đổi 20'=\(\dfrac{1}{3}\)h        -

theo bài ra ta có pt:\(\dfrac{40}{x}\)+\(\dfrac{20}{x+10}\)-\(\dfrac{60}{x}\)=\(\dfrac{1}{3}\)

=>_\(x^2\) +10x=1200

=>\(x^2\)+10x -1200=0(a=1, b'=5, c= -1200)

ta có \(\Delta'\)=\(b^2\)-ac = \(5^2\)-(-1200) = 25 +1200 = 1225>0

=>\(\sqrt{1225}\)= 35

pt có 2 nghiệm phân biệt

x1 = \(\dfrac{-5+35}{1}\)= 30(TM)

x2=\(\dfrac{-5-35}{1}\)=-40(Ko TM)

vậy vận tốc ban đầu là 30km/h

thời gian đi là 2h20'

Vậy vận tốc dự định của người đó la 40 km/h.

Thời gian người đó đi từ A đến B là $\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{40}+\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{40-10}=\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{6}$ (giờ) = 1 giờ 50 phút

G

Gọi độ dài quãng đường AB là: x(x>0;km)

Thì độ dài quãng đường BC là: 270-x (km)

Thời gian người đó đi trên quãng đường AB là:$\frac{x}{60}$  (giờ)

Thời gian người đó đi trên quãng đường BC là:$\frac{270-x}{40}$  (giờ)

Theo bài ra,ta có pt:

$\frac{x}{60}$ +$\frac{270-x}{40}$ =6

⇒40x+60(270-x)=6*40*60

⇔40x+16200-60x=14400

⇔-20x=-1800

⇔x=90 (t/m)

Vậy thời gian người đó đi trên quãng đường AB là:$\frac{90}{60}$ =1,5 giờ

        thời gian người đó đi trên quãng đường BC là: 6-1,5=4,5 giờ

Gọi độ dài quãng đường AB là: x(x>0;km)

Thì độ dài quãng đường BC là: 270-x (km)

Thời gian người đó đi trên quãng đường AB là: x/60 giờ

Thời gian người đó đi trên quãng đường BC là: ( 270-x) /40 (giờ) 

Theo bài ra,ta có pt:

x/6 + (270-x)/40 = 6

⇒40x+60(270-x)=6 . 40 . 60

 ⇔40x+16200-60x=14400

 ⇔-20x=-1800

 ⇔x=90 (t/m)

Vậy thời gian người đó đi trên quãng đường AB là: 90/60 = 1,5 giờ

       thời gian người đó đi trên quãng đường BC là: 6-1,5=4,5 giờ

Gọi vận tốc của xe đạp là x (km/h)

=> vận tốc của xe máy là 2,5x (km/h).

ĐK: x >0 
Thời gian đi xe đạp từ A đến B là 50/x (h)

Thời gian đi xe máy từ A đến B là 50/2,5x (h) do xe máy đi sau 1h30' = 3/2 h và đến sớm hơn 1h nên thời gian đi hết ít hơn là 3/2 +1 = 5/2 h 
ta có pt 50/x - 50/2,5x = 5/2 <=> 12,5 x = 150 => x = 12 (tmđk) Vậy vận tốc xe đạp là 12 km/h, vận tốc xe máy là 12.2,5 = 30km/h

Gọi vận tốc xe ABC

a, \(x^2-\left(3m+1\right)x+2m^2+m-1=0\)

\(\Delta=\left(3m+1\right)^2-4\left(2m^2+m-1\right)\)

\(=9m^2+6m+1-8m^2-4m+4\)

\(=m^2+2m+1+4\)

\(=\left(m+1\right)^2+4\) \(\ge4\)với \(\forall m\)

\(\Rightarrow\)Phương trình luôn có \(2n_0\)phân biệt với mọi m

b,

Theo vi-ét :

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=3m+1\\x_1x_2=2m^2+m-1\end{cases}}\)

\(B=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(=\left(3m+1\right)^2-5\left(2m^2+m-1\right)\)

\(=9m^2+6m+1-10m^2-5m+5\)

\(=-m^2+m+6\)

\(=-\left(m^2-m-6\right)\)

\(=-\left[\left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-6\right]\)

\(=-\left[\left(m-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\right]\)

\(=-\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{25}{4}\)

Vậy GTLN  \(B=\frac{25}{4}\)khi \(-\left(m-\frac{1}{2}\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Để pt có 2 nghiệm thì

$\Delta =25-4m>0$

$\iff m<\frac{25}{4}$

Theo định lý viet ta có

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=5\\ x_1{x}_2=m\end{array}$

Ta có: $\left|x1-x2\right|=3$

$\iff x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=9$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=9$

$\iff 5^2-4m=9$

$\iff m=4$

m=2