Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay : 

\(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=\frac{9}{3a}+\frac{4}{2b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(3+2+1\right)^2}{3a+2b+c}=\frac{36}{3a+2b+c}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c 

Trước hết, ta chứng minh được \(\forall m,n,p\in R;x,y,z>0\)thì:

\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\left(1\right)\)

Dấu  bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{p}{z}\)

Thật vậy: \(\forall m,n\in R;x,y>0\)thì:

\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{m^2y}{xy}+\frac{n^2x}{xy}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2y+n^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(m+n\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2xy+m^2y^2+n^2x^2+n^2xy\ge xy\left(m^2+2mn+m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2xy+n^2xy+m^2y^2+n^2x^2\ge m^2xy+2mnxy+n^2xy\)

\(\Leftrightarrow m^2xy+n^2xy+m^2y^2+n^2x^2-m^2xy-2mnxy-n^2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2y^2-2mnxy+n^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(my-nx\right)^2\ge0\)(luôn đúng).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}\)

Áp dụng bất dẳng thức (2), ta được:

\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\forall m,n,p\in R;x,y,z>0\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{m}{x}=\frac{n}{y}=\frac{p}{z}\)

Theo đề bài, vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức (1), ta được:

\(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3^2}{3a}+\frac{2^2}{2b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(3+2+1\right)^2}{3a+2b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{6^2}{3a+2b+c}=\frac{36}{3a+2b+c}\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow6a=9b=18c\)

Vậy với \(a,b,c>0\)thì \(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{36}{3a+2b+c}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{x+2y}\)(1)

Từ GT x + 2y ≤ 3z => \(\frac{1}{x+2y}\ge\frac{1}{3z}\)<=> \(\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}\)=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{3}{z}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\) \(\left(x,y,z>0\right)\)

Khi đó 

\(VT=\frac{1}{\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}+\frac{1}{\frac{1}{y^2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)}+\frac{1}{\frac{1}{z^2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}\) và \(xyz=1\)

\(=\frac{x^2}{\frac{y+z}{yz}}+\frac{y^2}{\frac{z+x}{zx}}+\frac{z^2}{\frac{x+y}{xy}}=\frac{x^2yz}{y+z}+\frac{y^2zx}{z+x}+\frac{z^2xy}{x+y}\)

\(=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{xy+zx}+\frac{y^2}{yz+xy}+\frac{z^2}{zx+yz}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1

đk: \(y+3\ge0\)

BĐT cần chứng minh tương đương

\(BPT\Leftrightarrow1-2y-y^2\le\left(y+3\right)^2=y^2+6y+9\)

\(\Leftrightarrow2y^2+8y+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(y+2\right)^2\ge0\left(\forall y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(y+2=0\Rightarrow y=-2\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(2x+\sqrt{12-2x^2}\le6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{12-2x^2}\le6-2x\)

\(\Rightarrow12-2x^2\le\left(6-2x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow12-2x^2\le36-24x+4x^2\)

\(\Leftrightarrow6x^2-24x+24\ge0\)

\(\Leftrightarrow6\left(x-2\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x-2=0\Rightarrow x=2\)

1) Trước hết ta sẽ chứng minh BĐT với 2 số

Với x,y,z,t > 0 ta luôn có: \(\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{x^2t+z^2y}{yt}\ge\frac{\left(x+z\right)^2}{y+t}\Leftrightarrow\left(x^2t+z^2y\right)\left(y+t\right)\ge yt\left(x+z\right)^2\)

(Biến đổi tương đương)

Khi bất đẳng thức trên đúng ta sẽ CM như sau:

\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\alpha+\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{\alpha}=\frac{b}{\beta}=\frac{c}{\gamma}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay :

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)