a) ta có (x-y)²>=0 với mọi x,y

=>x²-2xy+y²>=0 với mọi x,y

=>x²+y²>=2xy với mọi x,y

=>(x²+y²)/xy>=2 với mọi x,y>0

=>x/y+y/x>=2 với mọi x,y>0

áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

(a²+1)/1+1/(a²+1)>=2

=>a²+1+1/(a²+1)>=2

=>a²+1/(a²+1)>=1 (dpcm)

b)áp dụng bất đẳng thức x²+y²>=2xy (chứng minh trên) ta có:

a²+b²>=2ab 

=>(a²+b²).c>=2abc (1)

b²+c²>=2bc

=>(b²+c²).a>=2abc (2)

a²+c²>=2ac

=>(a²+c²).b>=2abc (3)

từ (1),(2),(3) cộng vế với vế ta sẽ suy ra đc dpcm

số a có dang :a=7b+3                                                                                                                                                                                                    a²={7b+3}²=49b²+2.7b.3+9                                                                                                                                                                               ta thấy 49b² chia hết cho 7;   2.7b.3 chia hết cho 7;           9 chia 7 dư 2                                                                                                             nên a² chia 7 dư2

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{x+3}{x.\left(x+3\right)}-\frac{x}{x.\left(x+3\right)}\)

\(=\frac{3}{x.\left(x+3\right)}=\frac{3}{x^2+3x}\)

a/ Chuyển vế ta có: 

a³ + b³ - ab(a-b) = a²(a-b) - b²(a-b) = (a+b)(a-b)² >= 0

Suy ra đpcm

b/ a²/2 + b²/2 >= ab

a²/2 + 1/2 >= a

b²/2 +1/2 >= b

Cộng theo vế 3 BĐT ta có đpcm