a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

Trả lời:

Bài 1: 

a, \(16x^2-9=\left(4x\right)^2-3^2=\left(4x-3\right)\left(4x+3\right)\)

b, \(9a^2-25b^2=\left(3a\right)^2-\left(5b\right)^2=\left(3a-5b\right)\left(3a+5b\right)\)

c, \(81-y^4=9^2-\left(y^2\right)^2=\left(9-y^2\right)\left(9+y^2\right)=\left(3-y\right)\left(3+y\right)\left(9+y^2\right)\)

d, \(\left(2x+y\right)^2-1=\left(2x+y-1\right)\left(2x+y+1\right)\)

e, \(\left(x+y+z\right)^2-\left(x-y-z\right)^2=\left(x+y+z-x+y+z\right)\left(x+y+z+x-y-z\right)\)

\(=\left(2y+2z\right)2x=2\left(y+z\right)2x=4x\left(y+z\right)\)

a, Xét tam giác AHB và tam giác CHA ta có : 

^BAM = ^MCA ( cùng phụ ^CAM ) 

^AHB = ^CHA = 90⁰ 

Vậy tam giác AHB ~ tam giác CHA ( g.g ) 

\(\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{AH}\Rightarrow AH^2=HB.HC=4.9=36\Rightarrow AH=6\)cm 

Theo định lí Pytago tam giác AHC vuông tại H

\(AC^2=AH^2+HC^2=81+36=117\Rightarrow AC=3\sqrt{13}\)cm 

-> HB + HC = BC = 9 + 4 = 13 cm 

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(AB^2=BC^2-AC^2=169-\left(3\sqrt{13}\right)^2=52\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\)cm 

mà BM là đường trung tuyến => \(AM=\frac{1}{2}AC=\frac{3\sqrt{13}}{2}\)cm 

Theo định lí Pytago tam giác ABM vuông tại A

\(BM^2=AB^2+AM^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{13}}{2}\right)^2=\frac{325}{4}\Rightarrow BM=\frac{5\sqrt{13}}{2}\)cm 

b, Xét tam giác ABK và tam tam giác MBA ta có : 

^B _ chung 

^AKB = ^MAB = 90⁰

Vậy tam giác ABK ~ tam giác MBA ( g.g ) 

\(\Rightarrow\frac{AB}{MB}=\frac{BK}{AB}\Rightarrow AB^2=BK.MB\)(1) 

tương tự xét tam giác ABH ~ tam giác CBA ( g.g )

\(\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow AB^2=BH.BC\)(2)

Từ (1) ; (2) suy ra : \(BK.MB=BH.BC\)(3) 

(3) => \(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{MB}\)

Xét tam giác BKH và tam giác BCM ta có : 

^B _ chung 

\(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{MB}\)( cmt )

Vậy tam giác BKH = tam giác BCM ( c.g.c )

=> ^BKH = ^BCM ( 2 góc tương ứng ) 

ta có 

\(P\left(x\right)=x^4-4x^3+4x^2-\left(x^2-2x+1\right)=\left(x^2-2x\right)^2-\left(x-1\right)^2\)

\(\left(x^2-3x+1\right)\left(x^2-x-1\right)=0\)

theo nguyên lí vi-et ta có \(\hept{\begin{cases}a+b=1\\a.b=-1\end{cases}}\)Vậy ab=-1

\(9x^2-4y^2+4y-1=9x^2-\left(4y^2-4x+1\right)\)

\(=\left(3x\right)^2-\left(2y-1\right)^2=\left(3x-2y+1\right)\left(3x+2y-1\right)\)

D = x³ - 30x² - 31x + 1

= x³ - ( x - 1 )x² - x.x + 1

= x³ - x³ + x² - x² + 1 = 1 

a, \(P=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x+1}-\frac{x}{1-x}+\frac{1}{x^2-1}\right)\)ĐK : \(x\ne\pm1\)

\(=\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\left(\frac{x-1+x\left(x+1\right)+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)\)

\(=\frac{4x}{x-1+x^2+x+1}=\frac{4x}{x^2+2x}=\frac{4}{x+2}\)

b, Thay x = -11 ta được : \(\frac{4}{-11+2}=-\frac{4}{9}\)

c, \(P\ge1\Leftrightarrow\frac{4}{x+2}-1\ge0\Leftrightarrow\frac{4-x-2}{x+2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2-x}{x+2}\ge0\Leftrightarrow\frac{x-2}{x+2}\le0\)

Vì \(x+2>x-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+2\ge0\\x-2\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-2\\x\le2\end{cases}}\Leftrightarrow-2\le x\le2\)

Kết hợp với đk vậy \(-2\le x\le2;x\ne\pm1\)

Trả lời:

Bài 3:

1, \(C=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\right)\) \(\left(ĐKXĐ:x\ne1\right)\) 

\(=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{x^3-1}+\frac{x}{x^2+x+1}-\frac{1}{x-1}\right)\)

\(=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\right)\)

\(=\frac{x-1}{2}:\frac{x^2+2+x\left(x-1\right)-x^2-x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\frac{x-1}{2}:\frac{x^2+2+x^2-x-x^2-x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\frac{x-1}{2}:\frac{x^2-2x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\frac{x-1}{2}:\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\frac{x-1}{2}:\frac{x-1}{x^2+x+1}\)

\(=\frac{x-1}{2}\cdot\frac{x^2+x+1}{x-1}=\frac{x^2+x+1}{2}\)

2, Ta có: \(x^2+x+1=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\ne1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+x+1}{2}>0\forall x\ne1\)

Vậy C lớn hơn 0 với mọi x khác 1.

\(1.C=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{x}{x^2+x+1}+\frac{1}{1-x}\right)\)

\(=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2+2+x\left(x-1\right)-\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\right)=\frac{x-1}{2}:\left(\frac{x^2-2x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\right)\)

\(=\frac{x-1}{2}.\left(\frac{x^2+x+1}{x-1}\right)=\frac{x^2+x+1}{2}\)

2. ta có : \(C=\frac{x^2+x+\frac{1}{4}}{2}+\frac{3}{8}=\frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}{2}+\frac{3}{8}\ge\frac{3}{8}>0\)

3. Vậy GTNN của \(C=\frac{3}{8}\)