a/ Xét tg vuông ABK và tg vuông CDK có

\(\widehat{AKB}=\widehat{CKD}=90^o\)

\(\widehat{BAD}=\widehat{DCB}\) (góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung BD)

=> tg ABK đồng dạng với tg CDK \(\Rightarrow\frac{KA}{KC}=\frac{KB}{KD}\Rightarrow KA.KD=KB.KC\)

b/ Nối CH cắt AB tại I

Xét tg CDH có

\(CK\perp DH\) (đề bài) => CK là đường cao

\(KH=KD\) (đề bài) => CK là đường trung tuyến

=> tg CDH cân tại C (tg có đường cao đồng thời là đường trung tuyến => tg đó là tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{KCD}=\widehat{KCH}\) (trong tg cân đường cao đồng thời là đường phân giác) (1)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) (2)

Xét tg vuông CKD có \(\widehat{KCD}+\widehat{ADC}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) => \(\widehat{KCH}+\widehat{ABC}=90^o\Rightarrow\widehat{BIC}=90^o\Rightarrow CH\perp AB\)

Mà \(AH\perp BC\)

=> H là trực tâm của tg ABC

c/

Ta có tg ADE là tg nội tiếp đường tròn (O)

Ta có 

\(BC\perp AD\) 

DE//BC

\(\Rightarrow DE\perp AD\Rightarrow\widehat{ADE}=90^0\) => AE là đường kính đường tròn (O) => DE đi qua O => A; O; E thẳng hàng

c, thiếu đề rồi phải có tọa đọ B nữa chứ ? 

a, \(\left(2\sqrt{44}-3\sqrt{77}\right):\sqrt{11}+\sqrt{63}\)

\(=\frac{\left(4\sqrt{11}-3\sqrt{7}\sqrt{11}\right)}{\sqrt{11}}+3\sqrt{7}\)

\(=4-3\sqrt{7}+3\sqrt{7}=4\)

b,Ta có :  \(\left(\frac{1}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}\right).\frac{x-9}{6}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+3-\sqrt{x}+6}{x-9}.\frac{x-9}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

sửa ý b, bấm nhầm 

\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}\right).\frac{x-9}{6}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+3-\sqrt{x}+3}{x-9}.\frac{x-9}{6}=\frac{6}{6}=1\)( đpcm )

 ta có hình sau :

cái này tự làm đi dễ mà

Dùng pitago tính BC

rồi tính sin B ra góc B

Áp dụng đinh lí Pytago cho tam giác ABC có AH là đường cao 

\(BC^2=AC^2+AB^2=36+64=100\Rightarrow BC=10\)

\(\Rightarrow\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)

a, Với m=2

=>\(\hept{\begin{cases}2x+4y=-10\\-x+y=0\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}2x+4y=-10\\-2x+2y=0\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}6y=-10\\-x+y=0\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}y=\frac{-5}{3}\\-x=0-\frac{-5}{3}\end{cases}}\)

=>\(\hept{\begin{cases}y=\frac{-5}{3}\\x=\frac{-5}{3}\end{cases}}\)

Vậy khi m=2 thì hpt có nghiệm duy nhất \(\left(\frac{-5}{3};\frac{-5}{3}\right)\)

b, \(\hept{\begin{cases}mx+2my=-10\left(1\right)\\\left(1-m\right)x+y=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (2)=> y=0-(1-m)x (3)

Thế (3) vào (1) ta được :  \(mx+2m\left[0-\left(1-m\right)x\right]=-10\)

                                      =>\(mx+2m\left[0-x+mx\right]=-10\)

                                      =>\(mx-2mx+2m^2x=-10\)

                                      =>\(\left(m-2m+2m^2\right)x=-10\)

                                     =>\(\left(2m^2-m\right)x=-10\)

Để hpt có nghiệm duy nhất =>\(2m^2-m\ne0\)

                                            =>\(m\left(2m-1\right)\ne0\)

                                            =>\(\hept{\begin{cases}m\ne0\\2m-1\ne0\end{cases}}\)

                                            =>\(\hept{\begin{cases}m\ne0\\m\ne\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{9x-18}=16\)    ( ĐK : \(x\ge2\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+3\cdot\sqrt{x-2}=16\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\cdot\left(1+3\right)=16\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=4\)

\(\Leftrightarrow x-2=16\)

\(\Leftrightarrow x=18\left(tmđk\right)\)

Vậy PT có nghiệm x = 18

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{9x-18}=16\left(x\ge2\right)\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x-2}=16\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=4\)

\(\Leftrightarrow x-2=16\Leftrightarrow x=18\left(tm\right)\)

VẬY PT có nghiệm x=18