Đổi 3h36 phút = \(3,6h\)

Gọi thời gian mà vòi thứ 1 chảy 1 mình đầy bể là x ( giờ )\(\left(x>3,6\right)\)

Gọi thời gian mà vòi thứ 2 chảy 1 mình đầy bể là y ( giờ ) \(\left(y>3,6\right)\)

1 giờ vòi 1 chảy được 1/x ( bể )

1 giờ vòi 2 chảy được 1/y ( bể ) 

Cả 2 vòi 1 giờ chảy được: \(\frac{1}{3,6}\left(h\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3,6}\left(1\right)\)

Vì nếu hai vòi chảy trong 1,5h rồi khóa vòi 1, vòi 2 chảy trong 3h nữa thì đầy bể nên ta có:

\(\frac{1,5}{x}+\frac{1,5}{y}+\frac{3}{y}=1\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3,6}\\\frac{1,5}{x}+\frac{4,5}{y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1,5}{x}+\frac{1,5}{y}=\frac{5}{12}\\\frac{1,5}{x}+\frac{4,5}{y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{y}=\frac{7}{12}\\\frac{1,5}{x}+\frac{4,5}{y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{36}{7}\left(tm\right)\\x=12\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy vòi 1 chảy 1 mình trong 12h đầy bể, vòi 2 chảy 1 mình trong 36/7 giờ thì đầy bể 

( đúng ko ta )

 \(\frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{5}\)

\(=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}-3+2\sqrt{6}}{5}\)

mình làm thử vì mình chỉ quen trục căn thức ở tử thôi

\(\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2+2\sqrt{2}-3}\)

\(=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{ab+ac}=\frac{4}{a\left(b+c\right)}\)(1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(a\left(b+c\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=4\Rightarrow\frac{4}{a\left(b+c\right)}\ge1\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge\frac{4}{a\left(b+c\right)}\ge1\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\ge1\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = 2 ; b = c = 1 

$+\; (O;R)$ đựng $(O^{\prime };r)\; có\; số\; điểm\; chung\; là\; 0;\; hệ\; thức$giữa $d,R,r\; là\; d\; =\; R\; -\; r$

$+(O;R)$ và $(O^{\prime };r)\; ở\; ngoài\; nhau\; có\; 0\; điểm\; chung,\; hệ\; thức$giữa $d,R,r\; là\; d\; >\; R\; +\; r$

$+(O;R)$ và $(O^{\prime };r)$Tiếp xúc ngoài có 1 điểm chung, $hệ\; thức$giữa $d,R,r\; là\; d\; =\; R\; +\; r$

$+(O;R)$ và $(O^{\prime };r)$Tiếp xúc trong có 1 điểm chung, $hệ\; thức$giữa $d,R,r\; là\; d\; =\; R\; -\; r$

$+(O;R)$ và $(O^{\prime };r)$cắt nhau có 2 điểm chung, $hệ\; thức$giữa $d,R,r\; là\; d\; <\; R\; +\; r$

0; d<R-r

Ở ngoài nhau;0

1;d=R+r

Tiếp xúc trong;1

Cắt nhau;R-r<d<R+r

câu nào ?

- Trường hợp 1: O và O' nằm khác phía đối với AB

Gọi I là giao điểm của OO' và AB. Theo tính chất đường nối tâm ta có:

    AB ⊥ OO' và AI = IB = 12

Áp dụng định lí Pitago, ta được:

Vậy OO' = OI + IO' = 16 + 9 = 25 (cm)

- Trường hợp 2: O và O' nằm cùng phía đối với AB

Tương tự như trường hợp 1, ta có:

Vậy OO' = OI – O'I = 16 – 9 = 7 (cm).