Ta có: \(\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)=9\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-\sqrt{a^2+9}\right)\left(a+\sqrt{a^2+9}\right)\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)

\(\Leftrightarrow\frac{-9\left(b+\sqrt{b^2+9}\right)}{a-\sqrt{a^2+9}}=9\)

\(\Rightarrow b+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}-a\)

Tương tự chỉ ra được: \(a+\sqrt{a^2+9}=\sqrt{b^2+9}-b\)

Cộng vế 2 PT trên lại ta được:

\(a+b+\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}=\sqrt{a^2+9}+\sqrt{b^2+9}-a-b\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=0\Rightarrow a=-b\)

Thay vào M ta được:

\(M=2a^4-a^4-6a^2+8a^2-10a+2a+2026\)

\(M=a^4+2a^2-8a+2026\)

\(M=\left(a^4+2a^2-8a+5\right)+2021\)

\(M=\left[\left(a^4-a^3\right)+\left(a^3-a^2\right)+\left(3a^2-3a\right)-\left(5a-5\right)\right]+2021\)

\(M=\left(a-1\right)\left(a^3+a^2+3a-5\right)+2021\)

\(M=\left(a-1\right)^2\left(a^2+2a+5\right)+2021\)\(\ge0+2021=2021\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = 1 => b = -1

Vậy Min(M) = 2021 khi a = 1 và b = -1

a. Xét (O) , có:
CD \(\perp\)AB = {H}
=> \(\widehat{CHA}=90^o\Rightarrow\widehat{CHE}=90^o\)

Có: \(\widehat{CMD}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CD
=> \(\widehat{CMD}=90^o\Rightarrow\widehat{CME}=90^o\)

Xét tứ giác CMEH, có:
\(\widehat{CME}+\widehat{CHE}=90^o+90^o=180^o\)

2 góc \(\widehat{CME}\)và \(\widehat{CHE}\)là 2 góc đối nhau
=> CMEH là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Câu a: Có góc CHE=90 độ (vì CD\(\perp AB\) tại H)

                  Góc CMD =90 độ(góc nt chắn nửa đt)

             Mà góc CHE và góc CMD ở vị trí đối nhau

 ⇒ Tứ giác CMEH nội tiếp

Câu b:

   Xét \(\Delta NACva\Delta NMB\) có :

     Góc N chung

     Góc NCA = góc NBM (cùng chắn cung MA)

⇒ \(\Delta NAC\) đồng dạng \(\Delta NBM\) (góc góc)

  ⇒\(\dfrac{NM}{NA}\)=\(\dfrac{NB}{NC}\)⇔NM.NC=NA.NB

Câu c:

Có góc PMA=90 độ ( góc nt chắn nửa đt)→PM\(\perp\)AK

                                                            Mà IK\(\perp\)AK

                                           ⇒IK song song với MP (từ vuông góc đến song song

a, Để pt trên có 2 nghiệm pb thì \(\Delta>0\)

\(\Delta=4m^2-4m+1+20=\left(2m-1\right)^2+20>0\forall m\)( đpcm )

Câu a:  Ta có \(\Delta\)= (1-2m)²-4.1.5= (2m-1)²+20>0 với mọi m

    ⇒Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Câu b:

Để phương trình có 2 nghiệm nguyên thì  \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\left(luondung\right)\\S\in Z\\P\in Z\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}2m-1\in Z\\-5\in Z\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)  

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-\frac{1}{2y-1}=0\\2\sqrt{x-1}+\frac{1}{2y-1}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\sqrt{x-1}-\frac{2}{2y-1}=0\\2\sqrt{x-1}+\frac{1}{2y-1}=3\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2) ta được : \(-\frac{2}{2y-1}-\frac{1}{2y-1}=-3\Leftrightarrow\frac{-3}{2y-1}=-3\)

\(\Rightarrow-6y+3=-3\Leftrightarrow y=1\)

Thay vào (2) ra được : \(2\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow x=1\)( tmđk \(x\ge1\))

Vậy hệ phương trình có một nghiệm ( x ; y ) = ( 1 ; 1 ) 

Đặt \(\sqrt{x-1}\)=A; \(\dfrac{1}{2y-1}\)=B(A>0;B khác 0) ta được:

   A-B=0                 ⇔ B=1

   2A+B=3                   A=B=1(cả 2 thỏa mãn)

Trở lại phép đặt:  \(\sqrt{x-1}\)=1        ⇔ x=2

                             \(\dfrac{1}{2y-1}\)=1             y=1

Đặt \(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\rightarrow a,b,c\), ta có : \(a+b+c=1\)

Tìm min của \(A=\frac{ab}{\sqrt{5a^2+32ab+12b^2}}+\frac{bc}{\sqrt{5b^2+32bc+12c^2}}+\frac{ca}{\sqrt{5c^2+32ca+12a^2}}\)

đến đây thấy giống giống bài bất của HN năm nào ấy nhỉ ?

ĐK: \(x\ne0\).

\(x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=\frac{27}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2+x+\frac{1}{x}=\frac{27}{4}\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-\frac{35}{4}=0\)(với \(t=x+\frac{1}{x}\))

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{5}{2}\\t=-\frac{7}{2}\end{cases}}\)

Với \(t=\frac{5}{2}\): 

\(x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x^2-\frac{5}{2}x+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\).

Với \(t=-\frac{7}{2}\): 

\(x+\frac{1}{x}=\frac{-7}{2}\Leftrightarrow x^2+\frac{7}{2}x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{-7\pm\sqrt{33}}{4}\)

Ta có: \(5x^2-10x-4=0\)

\(\Delta^'=\left(-5\right)^2-5\cdot\left(-4\right)=45>0\)

=> PT có 2 nghiệm phân biệt

Khi đó theo hệ thức viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-\frac{4}{5}\end{cases}}\)

Khi đó: \(\frac{x_1}{1+\frac{x_2}{x_1}}+\frac{x_2}{1+\frac{x_1}{x_2}}=\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\frac{x_2^2}{x_1+x_2}\)

\(=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1+x_2}=\frac{2^2-2\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}=\frac{14}{5}\)

                Bài làm :

  Đường kính đáy và độ dài trục của hình trụ bằng nhau

=> Chiều cao h gấp 2 lần bán kính r

Ta có :

\(V=\pi.r^2.h\)

\(\Rightarrow16\pi=\pi.r^2.2r\)

\(\Rightarrow2.r^3=16\)

\(\Rightarrow r^3=8\)

\(\Rightarrow r=2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow h=2r=4\left(cm\right)\)

Vậy diện tích vật liệu cần dùng là ;

\(S_{tp}=2.\pi.r.h+2.\pi.r^2=16\pi+8\pi=24\pi\left(cm^2\right)\)

Gọi số đo đường kính đáy của hộp sữa là x (cm)→ Trục của hộp sữa là x→Bán kính đáy là \(\dfrac{1}{2}x\)

Vì thể tích hộp sữa là 16\(\pi\)⇒\(\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2x=16\)⇔x=4→Bán kính đáy là 2cm

⇒Stp=2.\(\pi\).2².4+2.\(\pi\).2²=40\(\pi\)

Gọi chữ số hàng chục là của số cần tìm là \(x\)(điều kiện: \(3< x\le9;x\inℕ\)).

Chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là \(x-3\).

Vì tổng các bình phương của 2 chữ số là \(45\) nên ta có phương trình:

\(x^2+\left(x-3\right)^2=45\).

\(\Leftrightarrow x^2+x^2-6x+9-45=0\).

\(\Leftrightarrow2x^2-6x-36=0\).

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-3x-18\right)=0\).

\(\Leftrightarrow x^2-3x-18=0\).

\(\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(x+3\right)=0\).

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-6=0\\x+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\left(tm\right)\\x=-3\left(ktm\right)\end{cases}}\)(tm: Thỏa mãn; ktm: Không thỏa mãn).

\(\Leftrightarrow x=6\).

Do đó chữ số hàng đơn vị của chữ số cần tìm là \(6-3=3\).

Vậy số cần tìm là \(63\)

              Bài làm :

Gọi x ; y lần lượt là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị .

Điều kiện : \(x,y\inℕ;x>3\)

Theo đề bài ; ta có hệ phương trình ;

\(\hept{\begin{cases}x=y+3\\x^2+y^2=45\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+3\\\left(y+3\right)^2+y^2=45\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+3\\y^2+6y+9+y^2-45=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+3\\2y^2+6y-36=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+3\\y^2+3y-18=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)

Vậy số cần tìm là 63

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\) \(\left(x,y,z>0\right)\)

Theo đề \(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{3}{xyz}\)

\(\Rightarrow x+y+z=3\)

Và \(\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+1}}\)

\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{zx}}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\frac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\)

\(\ge\frac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\) (Cauchy Schwarz)

Ta có: \(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2}\)

\(\le\sqrt{3\left(x+y+xy+y+z+yz+z+x+zx\right)}\)

\(=\sqrt{\left[2\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)\right]}\)

\(\le\sqrt{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\sqrt{6+\frac{3^2}{3}}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+1}}\)

\(\ge\frac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\frac{9}{3}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)

cảm ơn bạn :>