(ac+bd)2+(ad−bc)2=(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2+(ad−bc)2=(a2+b2)(c2+d2) 

<=> a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2−2abcd=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2−2abcd=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

<=> a2b2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+a2d2+b2c2+d2b2a2b2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+a2d2+b2c2+d2b2 

1. a) (ac+bd)^2+(ad−bc)^2(ac+bd)^2+(ad−bc)^2

=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2−2abcd+b^2c^2

=a^2.(c^2+d2)+b^2.(c^2+d^2)

=(c^2+d^2).(a^2+b^2)

b) Ta có (ac+bd)^2≤(a^2+b^2).(c^2+d^2)

⇔a^2c^2+2abcd+b^2d^2≤a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2

⇔a^2d^2−2abcd+b^2c^2≥0

⇔(ad−bc)^2≥0( Đúng )

Dấu "=" xảy ra ⇔ad=bc

\(A=\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)\(+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\)

\(A=\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}+\sqrt{4-2.2\sqrt{2}+2}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{2}+1}+\sqrt{2^2-2.2\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}\)

\(A=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}=1\)

OK bạn để mình xem

. Điểm khác nhau cơ bản giữa thực vật và động vật là

x²-x căn 6+2

<=> x²- 2x căn6/2 + (căn6/2)² + 1/2

<=> (x-căn6/2)^{2 +} 1/2

Mà (x-căn6/2)² >=0

<=> (x-căn6/2)²+1/2 >=1/2

=> 1/2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi và chỉ khi x- căn6/2 = 0

                                                                                    <=> x= căn6/2

\(P=\frac{xy+x+y+2}{x+y+2}=\frac{xy}{x+y+2}+1\)

Đặt \(Q=\frac{x+y+2}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\)

Ta có: \(4=x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow xy\le2\)

\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=8\Rightarrow x+y\le2\sqrt{2}\)

\(Q=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{xy}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{2}{xy}\ge\frac{4}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2}=1+\sqrt{2}\)

Suy ra \(P\le\frac{1}{1+\sqrt{2}}+1=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}+1=\sqrt{2}\).

Dấu \(=\)khi \(x=y=\sqrt{2}\).

TL:

P=xy+x+y+2x+y+2 =xyx+y+2 +1

Đặt Q=x+y+2xy =1x +1y +2xy 

Ta có: 4=x2+y2≥2xy⇔xy≤2

(x+y)2≤2(x2+y2)=8⇒x+y≤2√2

Q=1x +1y +2xy ≥4x+y +2xy ≥42√2 +22 =1+√2

Suy ra P≤11+√2 +1=√2−1(1+√2)(√2−1) +1=√2.

Dấu  = khi x=y=√2.

^HT^

bai 1 tinh                                 

hê hêrf

a) Xét đường tròn (O) ta thấy hai điểm N và K đều nằm trên đường tròn nên đoạn NK là một dây của (O).

\(\Delta MNP\)cân tại N có đường cao NH (gt) \(\Rightarrow NH\)là trung trực của đoạn MP (tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow NH\)đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MNP\)

\(\Rightarrow NK\)cũng đi qua O (vì N, H, K thẳng hàng)

NK là một dây (cmt) đi qua tâm O của đường tròn (O) (cmt) nên NK là đường kính của (O) (đpcm).

b) Nếu bạn này chưa học góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì tớ giải theo cách này:

Vì NK là đường kính của (O) (cmt) nên O là trung điểm NK, từ đó PO là đường trung tuyến hạ từ P của \(\Delta NPK\)

Mà \(P\in\left(O\right)\Rightarrow OP=ON\)(vì cùng bằng bán kính của (O))

Mặt khác \(ON=\frac{1}{2}NK\Rightarrow OP=\frac{1}{2}NK\)

\(\Delta NPK\)có trung tuyến PO đến NK chính bằng 1/2 NK nên \(\Delta NPK\)vuông tại P

\(\Rightarrow\widehat{NPK}=90^0\)

c) Vì NK là trung trực của đoạn MP (cmt) và NK cắt MP tại H nên H là trung điểm MP.

\(\Rightarrow HP=\frac{MP}{2}=\frac{24}{2}=12\left(cm\right)\)(vì MP = 24cm (gt))

\(\Delta NPH\)vuông tại H (vì NH là đường cao của \(\Delta MNP\))

\(\Rightarrow NP^2=NH^2+PH^2\left(đlPythagoras\right)\)

\(\Rightarrow NH^2=NP^2-PH^2\Rightarrow NH=\sqrt{NP^2-PH^2}=\sqrt{20^2-12^2}\)\(=\sqrt{\left(20-12\right)\left(20+12\right)}=\sqrt{8.32}=16\left(cm\right)\)

Vậy NH = 16cm

\(\Delta NPK\)vuông tại K có đường cao KH

\(\Rightarrow PH^2=NH.HK\left(htl\right)\Rightarrow HK=\frac{PH^2}{NH}=\frac{12^2}{16}=9\left(cm\right)\)

Lại có NK = NH + HK = 16 + 9 = 25 (cm)

Mà \(ON=\frac{NK}{2}=\frac{25}{2}=12,5\left(cm\right)\)

Nên bán kính của (O) là 12,5cm.