1.

Áp dụng định lý Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\)

Do M là trung điểm AB, N là trung điểm AC \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC=5\left(cm\right)\)

b.

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{BC-BD}{AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BD}{6}=\dfrac{10-BD}{8}\)

\(\Leftrightarrow4BD=3\left(10-BD\right)\)

\(\Leftrightarrow7BD=30\)

\(\Rightarrow BD=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow CD=10-BD=\dfrac{40}{7}\left(cm\right)\)

a.

\(A=\left(\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{5}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\dfrac{2x+1}{x^2-1}\)

\(=\left(\dfrac{2\left(x-1\right)-\left(x+1\right)+5}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right):\dfrac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x+2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{2x+1}\)

\(=\dfrac{x+2}{2x+1}\)

b.

\(A=3\Rightarrow\dfrac{x+2}{2x+1}=3\)

\(\Rightarrow x+2=3\left(2x+1\right)\)

\(\Rightarrow x+2=6x+3\)

\(\Leftrightarrow5x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{5}\)

c.

\(A\) nguyên \(\Rightarrow2A\) nguyên \(\Rightarrow\dfrac{2x+4}{2x+1}\in Z\)

\(\Rightarrow\dfrac{2x+1+3}{2x+1}\in Z\Rightarrow1+\dfrac{3}{2x+1}\in Z\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2x+1}\in Z\)

\(\Rightarrow2x+1=Ư\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

a; 3\(x\) + (\(x\) - 5) = 7  - (5\(x\) - 4)

    3\(x\) + \(x\) - 5 = 7  - 5\(x\) + 4

     4\(x\) - 5 = 11 - 5\(x\)

     4\(x\) + 5\(x\) = 11 + 5

           9\(x\)   = 16 

             \(x\)    = \(\dfrac{16}{9}\)

Vậy \(x\) = \(\dfrac{16}{9}\)

b; \(\dfrac{2\left(x-3\right)}{4}\) - \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{6x+9}{3}\) - 2

      \(\dfrac{x-3}{2}\) - \(\dfrac{1}{2}\)   = 2\(x\) + 3 - 2

       \(x\) - 3 - 1 = (2\(x\) + 3 - 2).2

       \(x-4\)    =  (2\(x\) + 1).2

       \(x\) - 4    = 4\(x\) + 2

       \(x\) - 4\(x\)  = 4 + 2

           -3\(x\)   = 6

              \(x\)   = 6 : (-3)

              \(x=-2\)

Vậy \(x=-2\)

Bài 3:

Gọi số chai dầu gội đầu là x(chai)

(ĐK: \(x\in Z^+\))

Số chai sữa tắm là 45-x(chai)

Tổng số tiền phải trả là:

3000000-600000=2400000(đồng)

Số tiền phải trả cho x chai dầu gội là:

50000x(đồng)

Số tiền phải trả cho 45-x chai sữa tắm là:

\(60000\left(45-x\right)\left(đồng\right)\)

Do đó, ta có phương trình:

50000x+60000(45-x)=2400000

=>5x+6(45-x)=240

=>-x+270=240

=>x=30(nhận)

Vậy: Số chai dầu gội đầu là 30 chai

Số chai sữa tắm là 45-30=15 chai

Bài 5:

Gọi số sản phẩm tổ 1  làm được trong tháng đầu là x(sản phẩm)

(Điều kiện: \(x\in Z^+\))

Số sản phẩm tổ 2 làm được trong tháng đầu là:

600-x(sản phẩm)

Số sản phẩm tổ 1 làm được trong tháng thứ hai là:

\(x\left(1+25\%\right)=1,25x\left(sảnphẩm\right)\)

Số sản phẩm tổ 2 làm được trong tháng thứ hai là:

\(\left(600-x\right)\left(1+15\%\right)=1,15\left(600-x\right)\left(sảnphẩm\right)\)

Tổng số sản phẩm 2 tổ sản xuất được trong tháng thứ hai là 725 sản phẩm nên ta có:

1,25x+1,15(600-x)=725

=>0,1x+690=725

=>0,1x=35

=>x=350(nhận)

Vậy: Trong tháng đầu tiên, tổ 1 làm được 350 sản phẩm, tổ 2 làm được 725-350=375 sản phẩm

a: Sửa đề: ΔKMN~ΔKAC

Ta có: \(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}\)

\(\widehat{BCN}=\widehat{ACN}=\dfrac{\widehat{BCA}}{2}\)

mà \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)(ΔBAC cân tại B)

nên \(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}=\widehat{BCN}=\widehat{ACN}\)

Xét ΔKAN và ΔKCM có

\(\widehat{KAN}=\widehat{KCM}\)

\(\widehat{AKN}=\widehat{CKM}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAN~ΔKCM

=>\(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{KN}{KM}\)

=>\(\dfrac{KA}{KN}=\dfrac{KC}{KM}\)

Xét ΔKAC và ΔKNM có

\(\dfrac{KA}{KN}=\dfrac{KC}{KM}\)

\(\widehat{AKC}=\widehat{NKM}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔKAC~ΔKNM

b: Xét ΔNAC và ΔMCA có

\(\widehat{NAC}=\widehat{MCA}\)

CA chung

\(\widehat{NCA}=\widehat{MAC}\)

Do đó: ΔNAC=ΔMCA

=>NA=MC

Xét ΔMCK và ΔMAC có

\(\widehat{MCK}=\widehat{MAC}\)

\(\widehat{CMK}\) chung

Do đó; ΔMCK~ΔMAC

=>\(\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{MK}{MC}\)

=>\(MC^2=MK\cdot MA\)

c: Xét ΔABC có AM là phân giác

nên \(\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{9}{4,5}=2\)

=>BM=2CM

mà BM+CM=BC=9cm

nên BM=6cm; CM=3cm

Xét ΔBAM và ΔBCN có

\(\widehat{BAM}=\widehat{BCN}\)

BA=BC

\(\widehat{ABM}\) chung

Do đó: ΔBAM=ΔBCN

=>BM=BN

Xét ΔBAC có \(\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}\)

nên MN//AC

Xét ΔBAC có MN//AC

nên \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{BM}{BC}\)

=>\(\dfrac{MN}{4,5}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\)

=>MN=3(cm)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{AC}{HA}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6\cdot8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\left(=90^0-\widehat{C}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHAC

=>\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}\)

=>\(HB\cdot HC=HA^2\)

c: Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBF vuông tại H có

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBF}\)

Do đó: ΔABE~ΔHBF

=>\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{HBF}}=\left(\dfrac{AB}{HB}\right)^2=\left(\dfrac{BC}{BA}\right)^2\)

Bài 7:

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{3}{DC}=\dfrac{5}{8,5}\)

=>\(DC=3\cdot\dfrac{8.5}{5}=5,1\)

BC=BD+CD=5,1+8,5=13,6

=>x=13,6

b: Xét ΔABC có

P,S lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>PS là đường trung bình của ΔABC

=>BC=2PS

=>\(12=2\cdot\left(3x+4\right)\)

=>3x+4=6

=>3x=2

=>\(x=\dfrac{2}{3}\)

a.

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{3}{5}=\dfrac{x-3}{8,5}\)

\(\Rightarrow x-3=5,1\)

\(\Rightarrow x=8,1\)

b.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AP=BP\\AS=CS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow PS\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow PS=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow3x+4=\dfrac{1}{2}.12\Rightarrow3x+4=6\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\)

\(\left(x-3\right)\left(2x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\2x+4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(\left(x-3\right)\)\(\left(2x-4\right)\)\(=\) \(0\)

\(\Rightarrow\) \(\left(x-3\right)\)\(=\) \(0\)  hoặc \(\left(2x-4\right)\)\(=\) \(0\)

\(TH1:\) \(\left(x-3\right)\)\(=\) \(0\)

            \(x\)         \(=\) \(0\) \(+\) \(3\)

            \(x\)         \(=\) \(3\)

\(TH2:\) \(\left(2x+4\right)\)\(=\) \(0\)

            \(2x\)        \(=\) \(0\) \(-\) \(4\)

            \(2x\)        \(=\) \(-4\)

              \(x\)        \(=\)  \(-4\) \(:\) \(2\)

              \(x\)        \(=\) \(-2\)

Vậy \(x\) \(\in\) { \(3\) \(;\) \(-2\) }

Với mọi a;b;c ta có

\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)-3\) (1)

Lại có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow6a^2+6b^2+6c^2\ge6ab+6bc+6ca\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(a+b+c+3ab+3bc+3ca\right)-3=2.12-3=21\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(\dfrac{x-3}{x^2-x+1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4x+4}{x^3-1}\)

\(=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{x^2-x+1}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{4x+4}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x-3x-3-x^2+x-1+4x+4}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x}{x^3+1}\)