Ta có:\(a+b+c=0\Rightarrow\frac{a+b+c}{abc}=0\)(Do abc khác 0)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0\)

Khi đó ta có:\(\Rightarrow VT=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|=VP\left(ĐPCM\right)\)

-.-

a) \(x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)

\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+1+y-2-4\sqrt{y-2}+4+z-3-6\sqrt{z-3}+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{y-2}-2=0\\\sqrt{z-3}-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}\)

b) \(\sqrt{x-26}+\sqrt{y+20}+\sqrt{z+3}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-2\sqrt{x-26}-2\sqrt{y+20}-2\sqrt{z+3}=0\)

\(\Leftrightarrow x-26-2\sqrt{x-26}+1+y+20-2\sqrt{y+20}+1+z+3+2\sqrt{z+3}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-26}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+20}-1\right)^2+\left(\sqrt{z+3}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-26}-1=0\\\sqrt{y+20}-1=0\\\sqrt{z+3}-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=27\\y=-19\\z=-2\end{cases}}\)

a, \(A=\sqrt{x-6\sqrt{x}+9}-\sqrt{4x+4\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}-\sqrt{\left(2\sqrt{x}+1\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{x}-3\right|-\left|2\sqrt{x}+1\right|=\left|\sqrt{x}-3\right|-2\sqrt{x}-1\)

b, \(B=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\)

\(B^2=x+2\sqrt{x-1}+x-2\sqrt{x-1}-2\sqrt{x^2-4\left(x-1\right)}\)

\(=2x-2\sqrt{\left(x+2\right)^2}=2x-2\left|x+2\right|\)

\(\Rightarrow B=\sqrt{2x-2\left|x+2\right|}\)

\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+12}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow120.2\left(x+2\right)-120.2x=x\left(x+12\right)\)

\(\Leftrightarrow240x+2880-240x=x^2+12x\)

\(\Leftrightarrow240x+2880-240x-x^2-12x=0\)

\(\Leftrightarrow2880-x^2-12x=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+12x-2880=0\)

\(\Delta'=b'^2-ac\)

     \(=6^2-1\left(-2880\right)\)

     \(=2916\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=\sqrt{2916}=54>0\)

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=-6+54=48\)

\(x_2=-6-54=-60\)

a, Với \(-4\le x\le4\)

 \(A=\sqrt{x^2+8x+16}+\sqrt{x^2-8x+16}\)

\(=\sqrt{\left(x+4\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2}=\left|x+4\right|+\left|x-4\right|\)

b, \(B=\sqrt{9x^2-6x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(=\sqrt{\left(3x\right)^2-2.3x+1}+\sqrt{\left(2x\right)^2-2.2x.3x+3^2}\)

\(=\sqrt{\left(3x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}=\left|3x-1\right|+\left|2x-3\right|\)

điều kiện -4<=x<=4x<=4

\(a,\sqrt{\left(x+4\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2}\)

\(A=\left|x+4\right|+\left|x-4\right|\)

KẾT HỢP ĐIỀU KIỆN

\(A=x+4+4-x\)

\(A=8\)

\(B=\sqrt{\left(3x\right)^2-6x+1}+\sqrt{\left(2x\right)^2-12x+3^2}\)

\(B=\sqrt{\left(3x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(B=\left|3x-1\right|+\left|2x-3\right|\)

\(TH1:x>=\frac{3}{2}\)

\(B=3x-1+2x-3\)

\(B=5x-4\)

\(TH2:\frac{1}{3}< =x< \frac{3}{2}\)

\(B=3x-1-2x+3\)

\(B=x+2\)

\(TH3:x< \frac{1}{3}\)

\(B=-3x+1-2x+3\)

\(B=4-5x\)

câu c và câu d tương tự

câu c tách ra: \(C=\sqrt{\left(\sqrt{x}-3\right)^2}-\sqrt{\left(2\sqrt{x}+1\right)^2}\)

còn câu d tách ra :\(D=\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}\)

\(D=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}\)

bạn tự làm nốt câu c, d nha 

a, \(\sqrt{16x^2-25}\)

ĐKXĐ : \(16x^2-25\ge0\Leftrightarrow x^2\ge\frac{25}{16}\Leftrightarrow x\le-\frac{5}{4};x\ge\frac{5}{4}\)

b, \(\sqrt{16-9x^2}\)

ĐKXĐ : \(16-9x^2\ge0\Leftrightarrow x^2\le\frac{9}{16}\Leftrightarrow-\frac{3}{4}\le x\le\frac{3}{4}\)

c, \(\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+2}}\)

ĐKXĐ : \(\sqrt{x+2}\ne0\Leftrightarrow x+2\ne0\Leftrightarrow x\ne-2\)

d, \(\frac{1}{\sqrt{x^2-2x-3}}\)

ĐKXĐ : \(\sqrt{x^2-2x-3}\ne0\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2-4}\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1-2\right)\left(x-1+2\right)\ne0\Leftrightarrow x\ne-1;3\)

a, \(\sqrt{x^2+12x+40}\)

\(=\sqrt{\left(x+6\right)^2+4}\)

Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\left(x+6\right)^2+4\ge0\) mà \(\left(x+6\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+6\right)^2+4\ge4\forall x\)

Vậy biểu thức trên xác định với mọi x

b, \(\frac{1}{\sqrt{9x^2-6x+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{\left(3x-1\right)^2}}\)

Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(3x-1\right)^2\ge0\\\left(3x-1\right)^2\ne0\end{cases}}\)

                                        \(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\ne0\)vì (3x-1)² luôn \(\ge\)0 với mọi x

                                        \(\Leftrightarrow3x-1\ne0\Leftrightarrow3x\ne1\Leftrightarrow x\ne\frac{1}{3}\)

Vậy biểu thức trên xác định khi và chỉ khi \(x\ne\frac{1}{3}\)

c, \(\sqrt{\left(4x^2+2x+3\right)\left(3-2x\right)}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}4x^2+2x+3\ge0\\3-2x\ge0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}4x^2+2x+3\le0\\3-2x\le0\end{cases}}\end{cases}}\)Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}4x^2+2x+3\ge0\\3-2x\ge0\end{cases}}\)(1)  hoặc \(\hept{\begin{cases}4x^2+2x+3\le0\\3-2x\le0\end{cases}}\)(2)

                                            mà \(4x^2+2x+3=\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\)luôn \(\ge\frac{11}{4}\)\(\forall x\)

                                       \(\Rightarrow\)(2) không thỏa mãn, (1) thỏa mãn 

Từ (1)\(\Rightarrow3-2x\ge0\)(vì \(4x^2+2x+3\)luôn \(\ge0\forall x\))

           \(\Rightarrow3\ge2x\)

            \(\Rightarrow\frac{3}{2}\ge x\)hay\(x\le\frac{3}{2}\)

Vậy biểu thức trên xác định khi và chỉ khi \(x\le\frac{3}{2}\)

d, \(\sqrt{\frac{2x^2+3x+16}{5-7x}}\)

=\(\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2+\frac{119}{8}}}{\sqrt{5-7x}}\)

Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2\\5-7x>0\end{cases}+\frac{119}{8}\ge0}\)

mà \(\left(\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2+\frac{119}{8}\ge\frac{119}{8}\forall x\)

\(\Rightarrow\)Biểu thưc trên xác định \(\Leftrightarrow5-7x>0\)\(\Leftrightarrow5>7x\Leftrightarrow\frac{5}{7}>x\)hay \(x< \frac{5}{7}\)