Để \(A=\frac{4}{m+1}\in Z\)

\(\Rightarrow4⋮m+1\)

=> m + 1 thuộc Ư(4) = {1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 4 ; -4}

Ta có bảng sau :

Để 4(m + 1) là số nguyên <=> m + 1 thuộc Ư(4) = { - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4 }

=> m + 1 = { - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4 }

=> m = { - 5; - 3 ; - 2 ; 0 ; 1 ; 3 }

Vậy m = { - 5; - 3 ; - 2 ; 0 ; 1 ; 3 }

\(\frac{2a}{x+a}=1\)

2a = x + a

a + a = x + a

=> a = x

a^3 + a^2 +/a/ bé hơn hoặc bằng b-1 => a khác b

mà a^2 > hoặc = 0 và b^2 > hoặc = 0 => a^2 + b^2 > hoặc = 1 

→Xét x ≥ 1 thì: 
x⁶ + 3x³ + 1 > x⁶ + 2x³ + 1 = (x³ + 1)² 
và x⁶ + 3x³ + 1 < x⁶ + 4x³ + 4 = (x³ + 2)² 
=> (x³ + 1)² < y⁴ = x⁶ + 3x³ + 1 < (x³ + 2)² 
=> y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp 
=> pt đã cho vô nghiệm với x ≥ 1 
→Xét x = 0: tính được y = ± 1 => pt có 2 nº (0; -1) và (0;1) 
→Xét x = -1: y⁴ = -1 (vô nº) 
→Xét x ≤ -2: để dễ nhìn đặt z = -x => z ≥ 2 
pt trở thành: y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1 
Ta thấy: z⁶ - 3z³ + 1 < z⁶ - 2z³ + 1 (vì z ≥ 2) 
=> z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)² 
và (z⁶ - 3z³ + 1) - (z⁶ - 4z³ + 4) = z³ - 3 > 0 (do z³ ≥ 8) 
=> z⁶ - 3z³ + 1 > z⁶ - 4z³ + 4 = (z³ - 2)² 
Do đó: (z³ - 2)² < y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)² 
=> y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp 
=> pt đã cho vô nº với x ≤ -2 
Kết luận pt đã cho có 2 nº là (0; -1) và (0;1) 

→Xét x ≥ 1 thì:  x⁶ + 3x³ + 1 > x⁶ + 2x³ + 1 = (x³ + 1)²  và x⁶ + 3x³ + 1 < x⁶ + 4x³ + 4 = (x³ + 2)²  => (x³ + 1)² < y⁴ = x⁶ + 3x³ + 1 < (x³ + 2)²  => y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp  => pt đã cho vô nghiệm với x ≥ 1  →Xét x = 0: tính được y = ± 1 => pt có 2 nº (0; -1) và (0;1)  →Xét x = -1: y⁴ = -1 (vô nº)  →Xét x ≤ -2: để dễ nhìn đặt z = -x => z ≥ 2  pt trở thành: y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1  Ta thấy: z⁶ - 3z³ + 1 < z⁶ - 2z³ + 1 (vì z ≥ 2)  => z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)²  và (z⁶ - 3z³ + 1) - (z⁶ - 4z³ + 4) = z³ - 3 > 0 (do z³ ≥ 8)  => z⁶ - 3z³ + 1 > z⁶ - 4z³ + 4 = (z³ - 2)²  Do đó: (z³ - 2)² < y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)²  => y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp  => pt đã cho vô nº với x ≤ -2  Kết luận pt đã cho có 2 nº là (0; -1) và (0;1) 

Ta có phương trình :

2x+2(x-3)=1/2

 2x+2x-6=1/2

4x-6=1/2

4x=13/2

x=13/8

Khi tăng cả mẫu số và tử số là 2 đơn vị thì  hiệu không thay đổi mà hiệu ban đầu là 3 đơn vị nên phân số mới cũng có mẫu số nhiều hơn tử số là 3 đơn vị

Vì phân số mới là 1/2 nên ta coi tử số mới là 1 phần còn mẫu số mới là 2 phần như thế

Mẫu số mới hơn tử số mới là: 2-1=1 phần

mẫu số mới là : 3*2=6

mẫu số cũ là 6-2=4

tử số cũ là 4-3=1

vậu phân số ban đầu là 1/4

\(\left(y-x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=0\\ \)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=-2\\x=-1\end{cases}\Rightarrow\frac{3x^2y+1}{5xy}}=\frac{-6+1}{10}=-\frac{1}{2}\)