Bài 7:

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{3}{DC}=\dfrac{5}{8,5}\)

=>\(DC=3\cdot\dfrac{8.5}{5}=5,1\)

BC=BD+CD=5,1+8,5=13,6

=>x=13,6

b: Xét ΔABC có

P,S lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>PS là đường trung bình của ΔABC

=>BC=2PS

=>\(12=2\cdot\left(3x+4\right)\)

=>3x+4=6

=>3x=2

=>\(x=\dfrac{2}{3}\)

a.

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{3}{5}=\dfrac{x-3}{8,5}\)

\(\Rightarrow x-3=5,1\)

\(\Rightarrow x=8,1\)

b.

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AP=BP\\AS=CS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow PS\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow PS=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow3x+4=\dfrac{1}{2}.12\Rightarrow3x+4=6\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\)

\(\left(x-3\right)\left(2x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\2x+4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(\left(x-3\right)\)\(\left(2x-4\right)\)\(=\) \(0\)

\(\Rightarrow\) \(\left(x-3\right)\)\(=\) \(0\)  hoặc \(\left(2x-4\right)\)\(=\) \(0\)

\(TH1:\) \(\left(x-3\right)\)\(=\) \(0\)

            \(x\)         \(=\) \(0\) \(+\) \(3\)

            \(x\)         \(=\) \(3\)

\(TH2:\) \(\left(2x+4\right)\)\(=\) \(0\)

            \(2x\)        \(=\) \(0\) \(-\) \(4\)

            \(2x\)        \(=\) \(-4\)

              \(x\)        \(=\)  \(-4\) \(:\) \(2\)

              \(x\)        \(=\) \(-2\)

Vậy \(x\) \(\in\) { \(3\) \(;\) \(-2\) }

Với mọi a;b;c ta có

\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)-3\) (1)

Lại có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow6a^2+6b^2+6c^2\ge6ab+6bc+6ca\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(7\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(a+b+c+3ab+3bc+3ca\right)-3=2.12-3=21\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(\dfrac{x-3}{x^2-x+1}-\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{4x+4}{x^3-1}\)

\(=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{x^2-x+1}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{4x+4}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x-3x-3-x^2+x-1+4x+4}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x}{x^3+1}\)

a: Xét ΔADH vuông tại H và ΔBDA vuông tại A có

\(\widehat{ADH}\) chung

Do đó: ΔADH~ΔBDA

ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD=\sqrt{4^2+3^2}=5\left(cm\right)\)

ΔADH~ΔBDA

=>\(\dfrac{AH}{BA}=\dfrac{AD}{BD}\)

=>\(AH=\dfrac{AB\cdot AD}{BD}=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔBCD vuông tại C có

\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\)(AB//CD)

Do đó: ΔAHB~ΔBCD

=>\(\dfrac{BH}{CD}=\dfrac{AB}{BD}\)

=>\(BH\cdot BD=AB\cdot CD=CD^2\)

∆OAB vuông tại O

⇒ AB² = OA² + OB² (Pythagore)

= 3² + 4²

= 25

⇒ AB = 5

⇒ Chu vi ∆OAB:

OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12

Gọi H là giao điểm của BA và CK

Xét ΔBHC có

BK,CA là các đường cao

BK cắt CA tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔBHC

=>HD\(\perp\)BC tại M

Xét ΔBMD vuông tại M và ΔBKC vuông tại K có

\(\widehat{MBD}\) chung

Do đó: ΔBMD~ΔBKC

=>\(\dfrac{BM}{BK}=\dfrac{BD}{BC}\)

=>\(BD\cdot BK=BM\cdot BC\)

Xét ΔCMD vuông tại M và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{MCD}\) chung

Do đó: ΔCMD~ΔCAB

=>\(\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(CA\cdot CD=CM\cdot CB\)

\(BD\cdot BK+CD\cdot CA\)

\(=BM\cdot BC+CM\cdot BC=BC^2=4\cdot CQ^2\)

Diện tích đáy của 1 hộp quà là:

\(400:\dfrac{1}{3}:12=100\left(cm^2\right)\)

Độ dài cạnh đáy của hộp quà là:

\(\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Diện tích giấy mà bạn An cần để làm 10 hộp quà đó là:

\(10\cdot\left[\dfrac{1}{2}\cdot\left(10\cdot4\right)\cdot13\right]=2600\left(cm^2\right)\)

\(\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x+1}{15}-\dfrac{2x-13}{6}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{15\left(x-1\right)}{30}-\dfrac{2\left(x+1\right)}{30}-\dfrac{5\left(2x-13\right)}{30}=0\)

\(\Leftrightarrow15\left(x-1\right)-2\left(x+1\right)-5\left(2x-13\right)=0\)

\(\Leftrightarrow15x-15-2x-2-10x+65=0\)

\(\Leftrightarrow3x+48=0\)

\(\Leftrightarrow x=-16\)