Xét các số thực dương x, y, z thay đổi sao cho x(x - 1) + y(y - 1) + z(z - 1) = 0
1. Chứng minh \(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\ge1\)
2. Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2-\frac{xy}{x+y}-\frac{yz}{y+z}-\frac{zx}{z+x}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa
Xét tam giác AHB vuông tại H:
+ \(AH=AB.\sin B\)
=>\(AH=10.\sin\left(60\right)\)
=>\(AH=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)
+ \(BH=AB.\cos B\)
=>\(BH=10.\cos\left(60\right)\)
=>\(BH=5\left(cm\right)\)
Xét tam giác AHC vuông tại H:
\(CH=AH.\cot C\)
\(CH=5\sqrt{3}.\cot\left(50\right)\)
\(CH\approx7,3\left(cm\right)\)
Vậy \(BC\approx12,3\left(cm\right)\)
\(5x^2-7x\sqrt{y}+2y=5x^2-5x\sqrt{y}-2x\sqrt{y}+2y=5x\left(x-\sqrt{y}\right)-2\sqrt{y}\left(x-\sqrt{y}\right)\)
\(=\left(5x-2\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{y}\right)\)
ĐKXĐ: x \(\ne\)\(\pm\)1; x > 0
Ta có: \(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}\)
= \(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}\)
= \(\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}\)
= \(\frac{x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1+x+1}{\sqrt{x}}=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}}\)
Điều kiện xác định của biểu thức đã cho là:
\(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x-\sqrt{x}\ne0\\x+\sqrt{x}\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x\ne1\end{cases}}\).
\(A=\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+\frac{x+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\left(x+\sqrt{x}+1\right)-\left(x-\sqrt{x}+1\right)+\left(x+1\right)}{\sqrt{x}}\)
\(=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
Ta có : A( -1 ; 4 ) \(\in\)(P) nên 4 = a - b + c (1)
S( -2 ; -1 ) \(\in\)(P) nên -1 = 4a - 2b + c (2)
(P) có đỉnh S( -2 ; -1 ) nên \(X_S=\frac{-b}{2a}\Leftrightarrow4a-b=0\)(3)
Từ (1) , (2) và (3) ta có HPT
\(\hept{\begin{cases}a-b+c=4\\4a-2b+c=-1\\4a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=5\\b=20\\c=19\end{cases}}\)
Vậy : \(y=f\left(x\right)=5x^2+20x+19\left(P\right)\)
Ta có: 2x2 + 2xy - x + y = 66
<=> (x + y)2 + x2 - y2 - (x - y) = 66
<=> (x + y)^2 - 1 + (x - y)(x + y - 1) = 65
<=> (x + y - 1)(x + y + 1) + (x - y)(x + y - 1) = 65
<=> (x + y - 1)(x + y + 1 + x - y) = 65
<=> (x + y - 1)(2x + 1) = 65 = 1. 65 = 5.13 (vì x,y nguyên dương)
Lập bảng:
x + y - 1 | 1 | 5 | 13 | 65 |
2x + 1 | 65 | 13 | 5 | 1 |
x | 32 | 6 | 2 | 0 |
y | -30 (ktm) | 0 | 12 | 66 |
Vậy ...
\(\sqrt{\frac{3a-4}{-5}}\)
\(\sqrt{\frac{3a-4}{-5}}\ge0\)
\(-5< 0< =>3a-4\le0\)
\(3a\le4< =>x\le\frac{4}{3}\)
a, \(\sqrt{\frac{3a-4}{-5}}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow\frac{3a-4}{-5}\ge0\)
Ta có: -5<0 nên để \(\frac{3a-4}{-5}\) \(\ge0\)thì \(3a-4\)\(\le0\)=> \(3a\le4\)=>\(a\le\frac{4}{3}\)
Vậy biểu thức trên xác định khi \(a\le\frac{4}{3}\)
b, \(\sqrt{2x^2}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\ge0\)(thỏa mãn \(\forall x\))
Vậy biểu thức trên xác định với mọi x
c, \(\sqrt{2x^2+1}\)
Biểu thức trên xác định \(\Leftrightarrow2x^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2\ge-1\)
\(\Leftrightarrow x^2\ge\frac{-1}{2}\)(thỏa mãn \(\forall x\))
Vậy biểu thức trên xác định với mọi x