Đặt tổng trên là A

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\)

\(A=2A-A=2^{101}-2=2\left(2^{100}-1\right)\Rightarrow A=2^{100}-1\)

\(2^{100}=\left(2^4\right)^{25}=16^{25}\) có chữ số tận cùng là 6

\(\Rightarrow A=2^{100}-1\) có chữ số tận cùng là 5

Gọi số tự nhiên lớn cần tìm là a

       số tự nhiên bé cần tìm là b (a,b\(\in\)N; a,b>0)

Theo bài ra:

Tổng của chúng là 1903

=>a+b=1903(1)

Nếu lấy số lớn chia cho số bé thì được thương là 3 và số dư là 107

=>a=3b+107(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trinh:

\(\hept{\begin{cases}a+b=1903\\a=3b+107\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=1903\\a-3b=107\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4b=1796\\a+b=1903\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=449\\a=1454\end{cases}}\)(TM)

Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là 1454 và 449

\(\hept{\begin{cases}2x\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=3\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{2x}{2y}=3\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x=3y\\2y\left(1+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\end{cases}=1}\)

\(2y\left(1+\frac{1}{9y^2+y^2}\right)=1\)

\(2y+\frac{2y}{10y^2}=1\)

\(2y+\frac{1}{5y}-1=0\)

\(10y^2+1-5y=0\)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-\left(4.1.10\right)=25-40=-15< 0\)

lên pt vô nghiệm

\(\sqrt{117.5^2-26.5^2-1440}\)

\(\sqrt{5\left(585-130-288\right)}\)

\(\sqrt{5.167}=\sqrt{835}\)

a) \(\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}\)

\(=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}+1}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(4-2\sqrt{3}\right)}{3-1}\)

\(=\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}=4-3=1\)

c) \(\sqrt{5}\left(\sqrt{6}+1\right):\frac{\sqrt{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}}{\sqrt{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}}=\sqrt{5}\left(\sqrt{6}+1\right):\sqrt{\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}}\)

\(=\sqrt{5}\left(\sqrt{6}+1\right):\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{12-2}}=\sqrt{5}\left(\sqrt{6}+1\right)\cdot\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{6}+1\right)}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{2}.\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=5\)

e) \(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)

\(=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2+\sqrt{3}+1}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2-\sqrt{3}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)}+\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

\(a,A=\frac{2}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}}{x-4\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(A=\frac{2\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{x+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\)

\(b,A=\frac{\sqrt{x}-3+5}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{5}{\sqrt{x}-3}\)

để A nguyên \(5⋮\sqrt{x}-3\)

lập bảng ra đc 

\(x=\left\{2\right\}\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)

+ Nếu x ko là số chính phương

=> \(\sqrt{x}\) \(\notin Z\)

=> \(\sqrt{x}-1\notin Z\) 

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}-1}\notin Z\) ( loại)

+ Nếu x là số chính phương

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1\in Z\)

Để P nguyên thì \(1⋮\sqrt{x}-1\) 

Hay \(\sqrt{x}-1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Xét bảng

Vậy ...