ctv olm có mặt ạ!  Bài toán rất thú vị vì thông thường toán nâng cao, thi hsg thì cũng chỉ yêu cầu tìm chữ số  tận cùng của 1 lũy thừa chứ hiếm trường hợp yêu cầu ngóc ngách kiểu này!

ta có       S = 1 + 3¹ + 3² + 3³ +........+ 3³⁰ 

          ⇔ S = 3⁰ + 3¹ + 3² + 3³ +.......+3³⁰

 xét dãy số 0; 1; 2; 3;......30

dãy số trên có số số hạng là (30 -0) : 1 + 1 = 31 (số )

vậy tổng S có 31 số hạng, mỗi số hạng đều là số lẻ vậy tổng S là số lẻ  (1)

Mặt khác ta lại có    S = 1 + 3¹ + 3² + 3³ +.....+3³⁰

                           3x S =       3 + 3²  + 3³ +.......+3³⁰ + 3³¹

                           3S - S = 3³¹ - 1

              2S = 3³¹ - 1  =  (3⁴)⁷ .3³ - 1 = \(\overline{...1}\)⁷ . 27 - 1 =  \(\overline{...6}\)

vì   2 x 3 = 6;   2 x 8 = 16    ⇒ S = \(\overline{...3}\)    hoặc S = \(\overline{....8}\)  

vì S là một số lẻ  đã chứng minh ở (1) vậy S = \(\overline{...3}\)

kết luận với S = 1+ 3¹ + 3² + 3³ +.......+ 3³⁰  thì S có chữ số tận cùng là 3

87³² =  (87⁴)⁸ =   \(\overline{...1}\)⁸ = 1

Bài 1  : A =  10⁹ + 1 = 1 +  \(\overline{100.......0}\)  (9 chữ số 0)

ta có tổng các chữ số của tổng A là  1 + 1 + 0 x 9 = 2 không chia hết cho 3. vậy A không chia hết cho 3

B = 10¹¹ + 2 = 2 + \(\overline{1000....0}\) (11 chữ số 0)

tổng các chữ số của tổng B là 2 + 1  + 0 x 11 = 3 ⋮ 3

vậy tổng B chia hết cho 3

Bài 2 tìm N ϵ N để 

(3n + 16) ⋮ (n+4) ⇔ 3 (n +4) +4 ⋮ n + 4⇔ 4 ⋮ n +4

⇔ n +4 ϵ Ư(4) = {-4; -1; 1; 4}

⇒ n = -8; -5; -3 ( loại)

 n= 0 (thỏa mãn)

vậy n = 0 

\(\dfrac{8}{11} \times \dfrac{7}{4}+\dfrac{8}{11} \times \dfrac{7}{3}\)

\(=\dfrac{8}{11} \times (\dfrac{7}{4}+\dfrac{7}{3})\)

\(=\dfrac{8}{11} \times \dfrac{49}{12}\)

\(=\dfrac{98}{33}\)

`8/11 xx 7/4 + 8/11 xx 7/3`

`= 8/11 xx ( 7/4 + 7/3)`

`=8/11 xx ( 21/12 + 28/12)`

`=8/11 xx ((21+28)/12)`

`=8/11 xx 49/12`

`=(8xx49)/(11xx12)`

`=98/33`

`(37xx13-13):(24+37xx12)`

`=( 37 xx (12+1)-13) : (24 +37xx12)`

`=( 37 xx 12 - 37 -13) : (24 + 37 xx12)`

`=(37 xx 12 -24) : (24 + 37 xx 12)`

`=1`

= (37-1)x13  :  (12x2 + 12x37)

= 36x13 : 12x(2+37)

= 12x(3x13) : 12x39

= 12x39 : 12x39

= 1

hiệu của hai số là 89 + 1 = 90

tỉ số của hai số là 1/7

số lớn là 90 : (7-1) x 7 = 105

số bé là 15

hai số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 15 và 105 

con thank you cô ạ .

vì số thứ ba bằng trung bình cộng của số thứ  nhất và số thứ hai nên số thứ ba bằng trung bình cộng của ba số đó

                    số thứ ba là        3195 : 3 = 1065

tổng của số thứ nhất và số thứ hai là    3195 - 1065 = 2130

                 số thứ nhất là     2130  : (1+4) x 1 = 426

                 số thứ hai là            2130 - 426 = 1704

đs................. 

Quy đồng mẫu số : `125`

`23/25 = (23xx5)/(25xx5)= 115/125`

`24/25=(24xx5)/(25xx5)=120/125`

Mà : `115 < .... < 120`

`=> .... = {116;117;118;119}`

`=>4` phân số cần tìm là :

`116/125; 117/125; 118/125; 119/125`