\(\left(\frac{2\sqrt{x}+x}{x\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\left(\frac{2\sqrt{x}+x}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\times\frac{\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x-1}=\frac{1}{x-1}\)

\(A=x^2+\frac{4}{x^2+1}\)   

\(=x^2+1+\frac{4}{x^2+1}-1\)   

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương x^2 + 1 và 4 / x^2 + 1

\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right)\cdot\frac{4}{x^2+1}}\)   

\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}\ge4\)   

\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)   

\(A\ge3\)   

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 

\(x^2+1=\frac{4}{x^2+1}\)   

\(\left(x^2+1\right)^2=4\)   

\(\orbr{\begin{cases}x^2+1=2\\x^2+1=-2\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}x^2=1\\x^2=-3\left(sai\right)\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)   

Vậy A > 3 khi x khác 1 và - 1 

A = 3 khi x = 1 hay x = - 1 

A < 3 vô nghiệm 

Đặt A=\(\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ac}+\frac{a}{1+bc}\)

Áp dụng bđt Côsi ta  có:

\(\frac{c}{1+ab}=c-\frac{abc}{1+ab}\ge c-\frac{abc}{2\sqrt{ab}}=c-\frac{\sqrt{\left(ca\right)\left(cb\right)}}{2}\ge c-\frac{ca+cb}{4}\)

Tương tự có: \(\frac{b}{1+ac}\ge b-\frac{ba+bc}{4};\frac{a}{1+bc}\le a-\frac{ab+ac}{4}\)

Mặt khác: \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1+2\left(ab+bc+ca\right)\)   ( *)

Hay \(ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^2-1}{2}\)

\(\Rightarrow A\ge a+b+c-\frac{\left(a+b+c\right)^2-1}{4}=\frac{\left(a+b+c-1\right)\left(3-a-b-c\right)}{4}+1\)   (1)

Mà \(a,b,c\in\left\{0;1\right\}\Rightarrow3-a-b-c\ge0\)   (2)

Từ (*) \(\Rightarrow a+b+c\ge1\)   (3)

Từ 1,2,3 => \(A\ge1\)(đpcm)

ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}x\ne-1\\\frac{3x-2}{x+1}\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne-1\\\orbr{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\x\le-1\end{cases}}\end{cases}}}\)

Khi đó: \(\sqrt{\frac{3x-2}{x+1}}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x-2}{x+1}=9\)

\(\Leftrightarrow9x+9=3x-2\)

\(\Leftrightarrow6x=-11\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-11}{6}\)(T/m ĐKXĐ)

ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}x\ne-1\\x\ge\frac{3}{2}hoặcx\le-1\end{cases}}\)