bạn biết cách giải bài này chưa???

chỉ mik vs

hkljhhu

tớ không biết bởi vì tổ chứ gặp

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là x và x + 1 ( x ∈ N )

Tích của hai số là: x(x + 1) = x² + x

Tổng hai số là : x + x + 1 = 2x + 1

Theo bài ra ta có phương trình : \(x^2+x=2x+1+109\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-110=0\)

Có a = 1 ; b = -1 ; c = -110 

\(\Rightarrow\Delta=\left(-1\right)^2-4.1.\left(-110\right)=441\)

=> Phương trình trên có 2 nghiệm

\(x_1=\frac{1-\sqrt{441}}{2.1}=-10\); \(x_2=\frac{1+\sqrt{441}}{2.1}=11\)

Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 11 thỏa mãn điều kiện.

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12

\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+3\ge-4a-4b-4c\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4a+1+4b^2+4b+1+4c^2+4c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)^2+\left(2b+1\right)^2+\left(2c+1\right)^2\ge0\) (Đúng với mọi a, b, c)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{b}{a}+\frac{b}{c}=b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})\geq b.\frac{4}{a+c}$

$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq c.\frac{4}{a+b}$

$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq a.\frac{4}{b+c}$

Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn ta được:

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$