\(\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)}{x+\sqrt{3}}\)

\(=x-\sqrt{3}\)

#H

\(\frac{x^2-3}{x+\sqrt{3}}=\frac{\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)}{x+\sqrt{3}}=x-\sqrt{3}\)

bn viết tiếng việt đi mik đọc ko có hiểu

( Làm tắt bạn tự hiểu nhé )

Gọi O là giao diểm của MK và IQ 

+) Chứng minh: IMQK là hình chữ nhật:

IM là đường trung bình tam giác AHB

=> IM // HB (1) 

QK là đường trung bình tam giác CBH

=> QK// HB (2) 

Từ (1) và (2) => IM// QK 

=>  IMQK là hình bình hành 

Ta có: \(\hept{\begin{cases}KQ\perp AC\left(KQ//BE;BE\perp AC\right)\\MQ//AC\end{cases}}\Rightarrow KQ\perp MQ\)

=> IMQK là hình  chữ nhật 

=> IQ cắt MK tại trung điểm mỗi đường  và IQ=MK

Mà O là giao điểm của IQ và MK

=> OI=OM=OK=OQ     (3) 

CMTT: MNKL là hình chữ nhật

=> OM=ON=OK=OL (4) 

+) Chứng minh tam giác vuông có O là trung điểm cạnh huyền 

Tam giác MDK vuông tại D có O là trung điểm MK ( do ... là hình chữ nhật í )

=> OM=OK=OD

CMTT vào 2 tam giác IFQ vuông  và tam giác ENL vuông

=> OI=OF=OQ (5) ; OE=ON=OL  (6)

Từ (3) , (4) , (5) và (6) => 9 điểm I,K,L,D,E,F,M,N,Q cùng thuộc 1 đường tròn 

Áp dụng bđt Cô-si ta có:

\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{ab}}}=\frac{2}{\sqrt{\sqrt{ab}}}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{\sqrt{\sqrt{ab}}}{2}\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le2\frac{\sqrt{\sqrt{ab}}}{2}\)'

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt{\sqrt{ab}}\)

Dấu '=' xảy ra <=> a=b

Thanks bạn rất nhiều

áp dụng bdt cô si ta có:

x/yz+y/xz>=1/z

y/xz+z/xy>=1/x

z/xy+x/yz>=1/y

suy ra 2(x/yz+y/xz+z/xy)>=2(1/z+1/x+1/y)

lại có: 1/x+1/y>=4/x+y, 1/y+1/z>=4/y+z,1/z+1/x>=4/z+x 

suy ra 2(1/z+1/x+1/y)>=4/x+y+4/y+z+4/z+x (từ công thức 1/a+1/b>=4/a+b, bạn biến đổi tương đương là ra)

suy ra  2(x/yz+y/xz+z/xy)>=4/x+y+4/y+z+4/z+x(1)

ta có: 2x²+2y²>=(x+y)² (bạn biến đổi tương đương là ra công thức này)

x²+y²/2>=(x+y)²/4

tương tự: y²+z²/2>=(y+z)²/4, z²+x²/2>=(x+z)²/4

suy ra x²+y²+z²>=(x+y)²/4+(y+z)²/4+(x+z)²/4 (2)

cộng (1),(2) ta có:

x²+y²+z²+ 2(x/yz+y/xz+z/xy)>=(x+y)²/4+(y+z)²/4+(x+z)²/4+4/x+y+4/y+z+4/z+x

x²+y²+z²+ 2(x/yz+y/xz+z/xy)>=((x+y)²/4+4/x+y)+((z+y)²/4+4/z+y)+((x+z)²/4+4/x+z)

ta có:(x+y)²/4+4/x+y=(x+y)²/4-2(a+b)/2+1 +a+b+4/a+b-1=(x+y/2-1)²+a+b+4/a+b-1>=0+\(2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)4}{\left(a+b\right)}}-1=3\)

suy ra (x+y)²/4+4/x+y>=3

tương tự (z+y)²/4+4/z+y>=3, (x+z)²/4+4/x+z>=3

suy ra x²+y²+z²+ 2(x/yz+y/xz+z/xy)>=3+3+3=9

suy ra x²/2+y²/2+z²/2+ x/yz+y/xz+z/xy>=9/2

a) Vì AP,AQ là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}OP\perp AP\\OQ\perp AQ\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{OPA}=90^0\\\widehat{OQA}=90^0\end{cases}}}\)

Xét tứ giác APOQ có: 

\(\widehat{OPA}+\widehat{OQA}=180^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác APOQ

=> APOQ nội tiếp

=> A,P,O,Q cùng thuộc 1 đường tròn

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác APO vuông tại P ta được:

\(AP^2+OP^2=OA^2\)

\(\Rightarrow AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)