ΔABC cân tại A có AH là đường trung tuyến

nên AH vuông góc BC

=>AH//MD

AH//MD

=>góc AMN=góc CAH và góc ANM=góc BAH

ΔABC cân tại A có AH là đường cao

nên AH là phân giác của góc BAC

=>góc BAH=góc CAH

=>góc AMN=góc ANM

=>ΔAMN cân tại A

mà AK là trung tuyến

nên AK vuông góc MD

Xét tứ giác AKDH có

góc AKD=góc AHD=góc KDH=90 độ

=>AKDH là hình chữ nhật

cảm ơn bn rất nhiều

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

Xét hình thang ABCD có

M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình

=>MN//AB//CD và MN=(AB+CD)/2

Xét ΔDAB có

M,E lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>ME là đường trung bình

=>ME//AB và ME=AB/2

Xét ΔCBA có

F,N lần lượt là trung điểm của CA,CB 

=>FN là đường trung bình

=>FN//AB và FN=AB/2

ME//AB

MN//AB

ME cắt MN tại M

Do đó: M,E,N thẳng hàng

NF//AB

NM//AB

NM cắt NF tại N

Do đó: N,F,M thẳng hàng

=>M,E,F,N thẳng hàng

=>ME+EF+FN=MN

=>\(EF=\dfrac{1}{2}\left(CD+AB\right)-\dfrac{1}{2}AB-\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\left(CD-AB\right)\)

ABCD là hình thang cân

=>góc ADC=góc DCB=180-60=120 độ

AB//CD

=>góc KCB=góc CBA=60 độ

Xét tứ giác ABKH có

KH//AB

AH//BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH=8cm

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

góc ADH=góc BCK

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>HD=KC=2cm

HD+DC+CK=HK

=>2+2+DC=8

=>DC=4(cm)

\(d,x+\dfrac{1}{x+1}-1\)

\(=\dfrac{x\left(x+1\right)}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1}\)

\(=\dfrac{x^2+x+1-x-1}{x+1}\)

\(=\dfrac{x^2}{x+1}\)

#Ayumu

a) Ta có:

\(4x^2-6x=\left(2x.2x-3\right)\)

b) Ta có:

\(9x^4y^3+3x^2y^4\)

\(=3x^2y^3\left(3x^2+y\right)\)

c) Ta có:

\(x^3-2x^2+5x\)

\(=x\left(x^2-2x+5\right)\)

a) \(4x^2-6x=2x\left(2x-3\right)\)

b) \(9x^4y^3+3x^2y^4=3x^2y^3\left(3x^2+y\right)\)

c) \(3\left(x-y\right)-5x\left(y-x\right)=3\left(x-y\right)+5x\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(3+5x\right)\)

d) \(5x\left(x-3y\right)-15x\left(3y-x\right)\)

\(=5x\left(x-3y\right)+15x\left(x-3y\right)\)

\(=\left(x-3y\right)\left(5x+15x\right)\)

\(=16x\left(x-3y\right)\)

a/

\(BN\perp AC;MH\perp AC\) => MH//BN

Xét tg BNC có

MH//BN

MB=MC

=> HN=HC (trong tg đường thẳng // với 1 cạnh và đi qua trung điểm của 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Ta có

MH//BN. Xét tg AMH

\(\dfrac{ED}{IM}=\dfrac{EN}{IH}\) (talet)

Mà IM=IH => ED=EN

b/

Xét tg vuông ABN có

\(BN^2=AB^2-AN^2=AC^2-AN^2=\)

\(=AC^2-\left(AC-CN\right)^2=AC^2-\left(AC-2HN\right)^2=\)

\(=AC^2-AC^2+4AC.HN-4HN^2=\)

\(=4HN.\left(AC-HN\right)=4HN\left(AC-HC\right)=\)

\(=4HN.HA\)

Xét tg BCN có

MB=MC; HN=HC => MH là đường trung bình => \(MH=\dfrac{BN}{2}\)

Mà MH=2MI\(\Rightarrow2MI=\dfrac{BN}{2}\Rightarrow BN=4MI\)

Ta có

\(BN^2=4HN.HA\Rightarrow\left(4MI\right)^2=4HN.HA\)

\(\Rightarrow16MI^2=4.HN.HA\Rightarrow MI^2=HN.HA\)

Ta có : \(B\text{=}4x^2-12x+9\)

\(B\text{=}\left(2x-3\right)^2\)

Với \(x\text{=}\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow B\text{=}\left(2.\dfrac{1}{2}-3\right)^2\)

\(B\text{=}\left(-2\right)^2\text{=}4\)

Ta có : \(A\text{=}5\left(x+3\right)\left(x-3\right)+\left(2x+3\right)^2+\left(x-6\right)^2\)

\(A\text{=}5\left(x^2-9\right)+\left(2x+3\right)^2+\left(x-6\right)^2\)

\(A\text{=}5x^2-45+4x^2+12x+9+x^2-12x+36\)

\(A\text{=}10x^2\)

Với \(x\text{=}-\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow A\text{=}10.\left(-\dfrac{1}{5}\right)^2\text{=}\dfrac{2}{5}\)

B = 4x² - 12x + 9

= (2x - 3)²

Tại x = 1/2 ta có:

B = (2.1/2 - 3)²

= (-2)²

= 4

-------------------

A = 5(x + 3)(x - 3) + (2x + 3)² + (x - 6)²

= 5x² - 45 + 4x² + 12x + 9 + x² - 12x + 36

= 10x²

Tại x = 1/5 ta có:

A = 10.(1/5)²

= 2/5

\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+9y^2=9\\A=x-2y+3\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các cặp số \(\left(\dfrac{1}{2};2x\right);\left(-\dfrac{2}{3};3y\right)\)

\(x-2y=\dfrac{1}{2}.x+\left(-\dfrac{2}{3}\right).3y\)

\(\Rightarrow\left[\dfrac{1}{2}.2x+\left(-\dfrac{2}{3}\right).3y\right]^2\le\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{9}\right)\left(4x^2+9y^2\right)=\dfrac{25}{36}.9\)

\(\Rightarrow x-2y\le\dfrac{5}{6}.3=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow A=x-2y+3\le\dfrac{5}{2}+3\)

\(\Rightarrow A=x-2y+3\le\dfrac{11}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2x}=\dfrac{-\dfrac{2}{3}}{3y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2x}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3y}{-\dfrac{2}{3}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{9y^2}{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{4x^2+9y^2}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{9}}=\dfrac{9}{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{9.36}{25}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{9.36}{25}.\dfrac{1}{16}\\y^2=\dfrac{9.36}{25}.\dfrac{4}{36}=\dfrac{9.4}{25}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3.6}{5}.\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{10}\\y=\dfrac{3.2}{5}=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(GTLN\left(A\right)=\dfrac{11}{2}\left(tạix=\dfrac{9}{10};y=\dfrac{6}{5}\right)\)

a: (x^2+y^2)^2-(2xy)^2

=(x^2+y^2-2xy)(x^2+y^2+2xy)

=(x-y)^2*(x+y)^2

b: (a+b)^3+(a-b)^3

\(=\left(a+b+a-b\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2\right]\)

\(=2a\cdot\left[a^2+2ab+b^2-a^2+b^2+a^2-2ab+b^2\right]\)

=2a(a^2+3b^2)

c: (a+b)^3-(a-b)^3

\(=\left(a+b-a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)^2\right]\)

\(=2b\left(a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2\right)\)

=2b(3a^2+b^2)

d: a^6-b^6

=(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)

\(=\left(a^2-b^2\right)\left[a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2\right]\)

\(=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2+b^2\right)^2-a^2b^2\right]\)

e: \(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{4}\left[\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\right]\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(2x^2+2y^2\right)=\dfrac{x^2+y^2}{2}\)