Đề bị lỗi công thức rồi bạn. Bạn xem lại.

Lời giải:

a. 

\(A=\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)-(2\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}.(x-1)\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}-2-2(x-1)}{x-1}.(x-1)=x+\sqrt{x}-2-2(x-1)=\sqrt{x}-x\)

b.

$A=\sqrt{x}-x$

$-A=x-\sqrt{x}=(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}$

$=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\geq 0-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{4}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{4}$. Giá trị này đạt tại $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Bạn muốn làm gì với phương trình này nhỉ? Nếu chỉ có điều kiện $x,y$ không âm và pt như thế này thì không tìm được giá trị $x,y$ cụ thể.

1: Khi m=3/2 thì \(\left(d\right):y=\left(2\cdot\dfrac{3}{2}-1\right)x+3=2x+3\)

2: \(tanx=a=2m-1\)

3:

Để hai đồ thị (d) và (d') song song với nhau thì:

\(2m-1=3\)

=>2m=4

=>m=2

4: Thay x=1 vào (d1), ta được:

\(y=2\cdot1-3=-1\)

Thay x=1 và y=-1 vào (d), ta được:

\(1\left(2m-1\right)+3=-1\)

=>2m+2=-1

=>2m=-3

=>\(m=-\dfrac{3}{2}\)

5: y=1

=>2x-3=1

=>2x=4

=>x=2

Thay x=2 và y=1 vào (d),ta được:

\(2\left(2m-1\right)+3=1\)

=>2(2m-1)=-2

=>2m-1=-1

=>2m=0

=>m=0

Lời giải:
$n^2+6n+1\vdots 6$

$\Rightarrow n^2+1\vdots 6$

Ta biết rằng 1 số chính phương khi chia cho $3$ dư $0,1$ 

$\Rightarrow n^2\equiv 0,1\pmod 3$

$\Rightarrow n^2+1\equiv 1,2\pmod 3$

$\Rightarrow n^2+1$ không chia hết cho $3$ với mọi $n\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow n^2+1\not\vdots 6$ với mọi $n\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow$ không tồn tại số $n$ thỏa mãn đề.

Do \(x>y>z>0\), nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\) (bất đẳng thức Cô-si)

Cộng ba bất đẳng thức theo từng vế, ta được:

\(x+y+y+z+x+z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\) (điều phải chứng minh).

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm, ta có:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$y+z\geq 2\sqrt{yz}$

$z+x\geq 2\sqrt{zx}$

$\Rightarrow x+y+y+z+z+x\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$

$\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Lời giải:
1. ĐKXĐ: $-2x+3\geq 0\Leftrightarrow 3\geq 2x$

$\Leftrightarrow x\leq \frac{3}{2}$

2. ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} x^2\neq 0\\ \frac{2}{x^2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2\neq 0\Leftrightarrow x\neq 0\)

3. ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} x+3\neq 0\\ \frac{4}{x+3}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+3>0\Leftrightarrow x> -3\)

4. ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} x^2+6\neq 0\\ \frac{-5}{x^2+6}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+6\neq 0\\ x^2+6<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2+6<0\) (vô lý)

Vậy biểu thức không xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$

5. ĐKXĐ: $3x+4\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{-4}{3}$

6. ĐKXĐ: $x^2+1\geq 0\Leftrightarrow x\in\mathbb{R}$
7. ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 1-2x\neq 0\\ \frac{3}{1-2x}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1-2x>0\Leftrightarrow x< \frac{1}{2}\)

8. ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} 3x+5\neq 0\\ \frac{-3}{3x+5}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 3x+5<0\Leftrightarrow x< \frac{-5}{3}\)

Lời giải:
\(=\sqrt{106-2\sqrt{1440}}+3\sqrt{10}-\frac{12(\sqrt{10}-2)}{(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2)}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{90}-\sqrt{16})^2}+3\sqrt{10}-\frac{12(\sqrt{10}-2)}{6}\)

$=\sqrt{90}-\sqrt{16}+3\sqrt{10}-2(\sqrt{10}-2)$

$=4\sqrt{10}$