a) \(\left(2x+5\right)\left(3x-1\right)-6x\left(x-3\right)-21x\)

\(=6x^2-2x+15x-5-6x^2+18x-21x\)

\(=\left(6x^2-6x^2\right)-\left(2x-15x-18x+21x\right)-5\)

\(=10x-5\)

b) \(\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2-2x^2\)

\(=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2-2x^2\)

\(=\left(x^2+x^2-2x^2\right)+\left(2xy-2xy\right)+\left(y^2+y^2\right)\)

\(=2y^2\)

a: 2n+11 chia hết cho 3n+1

=>6n+33 chia hết cho 3n+1

=>6n+2+31 chia hết cho 3n+1

=>31 chia hết cho 3n+1

=>3n+1 thuộc {1;-1;31;-31}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;10}

b: 3n+9 chia hết cho 4n+2

=>12n+36 chia hết cho4n+2

=>12n+6+30 chia hết cho 4n+2

=>4n+2 thuộc Ư(30)

=>4n+2 thuộc {1;-1;2;-2;3;-3;5;-5;6;-6;10;-10;15;-15;30;-30}

mà n là số tự nhiên

nên \(n\in\left\{0;1;2;7\right\}\)

c: 5n+4 chia hết cho 3n-1

=>15n+12 chia hết cho 3n-1

=>15n-5+17 chia hết cho 3n-1

=>17 chia hết cho 3n-1

=>3n-1 thuộc {1;-1;17;-17}

mà n là số tự nhiên

nên n=6

d: 7n+3 chia hết cho 2n-5

=>14n+6 chia hết cho 2n-5

=>14n-35+41 chia hết cho 2n-5

=>2n-5 thuộc Ư(41)

=>2n-5 thuộc {1;-1;41;-41}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {3;2;23}

\(1-2+3-4+5-6+...+2019-2020+2021\)

\(=\left(1-2\right)+\left(3-4\right)+\left(5-6\right)+...+\left(2019-2020\right)+2021\)

\(=-1-1-1-..-1+2021\)

\(=-1\cdot1010+2021\)

\(=-1010+2021\)

\(=-1011\)

$1-2+3-4+5-6+...+2019-2020+2021$

$=\left(1-2\right)+\left(3-4\right)+\left(5-6\right)+...+\left(2019-2020\right)+2021$

$=-1-1-1-..-1+2021$

$=-1\cdot 1010+2021$

$=-1010+2021$

$=-1011$

\(1000=2^3\cdot5^3\)

\(7200=2^5\cdot3^2\cdot5^2\)

\(810=2\cdot3^4\cdot5\)

\(8000=2^6\cdot5^3\)

a) \(\left(x-1\right)^2-2\left(x-3\right)\left(x-1\right)+\left(x-3\right)^2\)

\(=\left[\left(x-1\right)-\left(x-3\right)\right]^2\)

\(=\left(x-1-x+3\right)^2\)

\(=2^2\)

\(=4\)

Vậy: ...

b) \(\left(x-1\right)^3-\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)+3x^2-3x\)

\(=x^3-3x^2+3x-1-\left(x^3+8\right)+3x^2-3x\)

\(=\left(x^3-x^3\right)-\left(3x^2-3x^2\right)+\left(3x-3x\right)-\left(1+8\right)\)

\(=-9\)

Vậy: ...

e) \(\left(x-y+z\right)^2+\left(y-z\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)\)

\(=\left(x-y+z\right)^2+2\left(x-y+z\right)\left(y-z\right)+\left(y-z\right)^2\)

\(=\left[\left(x-y+z\right)+\left(y-z\right)\right]^2\)

\(=\left(x-y+z+y-z\right)^2\)

\(=x^2\)

f) \(\left(5x+1\right)^2-\left(5x+3\right)\left(5x-3\right)\)

\(=25x^2+10x+1-\left(25x^2-9\right)\)

\(=25x^2+10x+1-25x^2+9\)

\(=10x+10\)

a) A nguyên khi: \(\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\) nguyên:

Mà: \(\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1-4}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{4}{\sqrt{x}+1}\)

Vậy: \(4\) ⋮ \(\sqrt{x}+1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1\in\text{Ư}\left(4\right)\)

Mà: \(x\ge0\) nên: \(\sqrt{x}+1\in\left\{1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;1;9\right\}\)

b) \(B< \dfrac{1}{2}\) khi \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}< \dfrac{1}{2}\) (ĐK: \(x\ge0\)) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{2}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-3}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

Mà: \(2\left(\sqrt{x}+1\right)\ge0\forall\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 3\)

\(\Leftrightarrow x< 9\)

Kết hợp với ĐK: \(0\le x< 9\)

a: \(AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=30\left(cm\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HI là đường cao

nên AI*AB=AH^2(1)

=>AI=AH^2/AB=24^2/30=576/30=19,2(cm)

b: Xét ΔAHC vuông tại H có HK là đường cao

nên AK*AC=AH^2(2)

Từ (1), (2) suy ra AI*AB=AK*AC

=>AI/AC=AK/AB

Xét ΔAIK và ΔACB có

AI/AC=AK/AB

góc IAK chung

=>ΔAIK đồng dạng với ΔACB

c: Xét ΔAHB vuông tại H có cot B=BH/AH

Xét ΔAHC vuông tại H có cot C=CH/AH

=>cotB+cotC=(BH+CH)/AH=BC/AH

\(\Leftrightarrow\dfrac{BC}{cotB+cotC}=AH\)

a) \(\sqrt{8x+4}-\sqrt{\dfrac{10x+5}{5}}-2=\dfrac{1}{2}-\sqrt{18x+9}\) (ĐK: \(x\ge-\dfrac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x+1}-\sqrt{\dfrac{5\cdot\left(2x+1\right)}{5}}-2=\dfrac{1}{2}-3\sqrt{2x+1}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x+1}-2=\dfrac{1}{2}-3\sqrt{2x+1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}-2=\dfrac{1}{2}-3\sqrt{2x+1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}+3\sqrt{2x+1}=\dfrac{1}{2}+2\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{2x+1}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}=\dfrac{5}{8}\)

\(\Leftrightarrow2x+1=\dfrac{25}{64}\)

\(\Leftrightarrow2x=-\dfrac{39}{64}\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{39}{128}\)

b) \(\sqrt{4x^2-4x+1}-3=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=2+3\)

\(\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=5\)

TH1: \(\left|2x-1\right|=2x-1\) khi \(x\ge\dfrac{1}{2}\) 

Pt trở thành:

\(2x-1=5\) (ĐK: \(x\ge\dfrac{1}{2}\))

\(\Leftrightarrow2x=6\)

\(\Leftrightarrow x=3\left(tm\right)\)

TH2: \(\left|2x-1\right|=-\left(2x-1\right)\) khi \(x< \dfrac{1}{2}\)

Pt trở thành:

\(-\left(2x-1\right)=5\) (ĐK \(x< \dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x-1=-5\)

\(\Leftrightarrow2x=-4\)

\(\Leftrightarrow x=-2\)

Vậy: ..

c: \(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+5}=5-2x\)

=>5-2x>=0 và 4x^2-4x+5=(5-2x)^2

=>x<=5/2 và 4x^2-4x+5=4x^2-20x+25

=>x<=5/2 và -4x+5=-20x+25

=>x<=5/2 và 16x=20

=>x=5/4(nhận)

d: \(\Leftrightarrow x^2-4\sqrt{x-1}-9x+28=0\)

=>\(x^2-5x-4x+20-4\sqrt{x-1}+8=0\)

=>\(x\left(x-5\right)-4\left(x-5\right)-4\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

=>\(\left(x-5\right)\left(x-4\right)-4\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

=>\(\left(x-4\right)\cdot\left[\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(\sqrt{x-1}+2\right)\right]-4\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

=>\(\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left[\left(x-4\right)\left(\sqrt{x-1}+2\right)-4\right]=0\)

=>căn(x-1)-2=0

=>căn(x-1)=2

=>x-1=4

=>x=5