\(a,ĐK:9x^2-1\ne0\Leftrightarrow x^2\ne\frac{1}{9}\Leftrightarrow x\ne\pm\frac{1}{3}\)

\(b,M=\frac{\sqrt{9x^2-6x+1}}{9x^2-1}=\frac{\sqrt{\left(3x-1\right)^2}}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}=\frac{\left|3x-1\right|}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}\)

với \(3x-1>0\) ta có \(M=\frac{3x-1}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}=\frac{1}{3x+1}\)

với \(3x-1< 0\) ta có \(M=\frac{-\left(3x-1\right)}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}=-\frac{1}{3x+1}\)

\(c,\) th1 : \(M=\frac{1}{3x+1}\)  khi \(x>\frac{1}{3}\) mà \(M=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3x+1}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=1\left(thoaman\right)\) 

th2 : \(M=-\frac{1}{3x+1}\) khi \(x< \frac{1}{3}\) mà \(M=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-1}{3x+1}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow3x+1=-4\Leftrightarrow x=-\frac{5}{3}\left(thoaman\right)\)

\(d,M=\frac{\left|3x-1\right|}{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}< 0\) có \(\left|3x-1\right|>0\)

\(\Rightarrow\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)< 0\)

th1 : \(\hept{\begin{cases}3x-1>0\\3x+1< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>\frac{1}{3}\\x< -\frac{1}{3}\end{cases}\left(voli\right)}}\)

th2 : \(\hept{\begin{cases}3x-1< 0\\3x+1>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< \frac{1}{3}\\x>-\frac{1}{3}\end{cases}\Leftrightarrow-\frac{1}{3}< x< \frac{1}{3}}\)

M A B O C

a, có AM = 2AC  mà để AM lớn nhất

<=> AC lớn nhất

có AC là dây cung của đường tròn (O) đk AB

=> AC =< AB

dấu = xảy ra khi C trùng B

b, AM = 2R.căn 3 mà AM = 2AC

<=> 2AC = 2R.căn 3

<=> AC = R.căn 3

xét tam giác ABC vuông tại C => AC^2 + CB^2 = AB^2 

Mà BA = 2R

=> (R.căn 3)^2 + BC^2 = (2R)^2

<=> 3R^2 + BC^2 = 4R^2

<=> BC^2 = R^2

<=> BC = R

vậy lấy điểm C trên (O) sao cho BC = R để AM = 2R.căn 3

c,  xét tam giác BAM có BC là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

=> tam giác BAM cân tại B

=> BA = BM mà AB không đổi

=> BM không đổi

=> khi C di động trên (O) thì M di động trên đường tròn (B) cố định

theo định lý Pytago ta có :

\(OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\frac{R}{2}=const\)\

Vậy khi AB di chuyển thì M thuộc đường tròn tâm O bán kính R/2

Ta có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}.2.\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]\ge0\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)