Các cặp số có tổng bằng 3000 trong khoảng từ 1 đến 3000 là:

(1499;1501) ; (1498;1502) ; .... ; (978;2022) ; (977;2023) (523 cặp/1046 số hạng)

Vậy có 3000 - 1046 = 1954 số từ 1 - 3000 không được sử dụng

Trường hợp xấu nhất là bốc ra 1954 số đó cùng với 523 số của 523 cặp khác nhau thì vẫn chưa có 2 số có tổng bằng 3000 => phải chọn thêm 1 số

=> Cần 1954 + 523 + 1 = 2478 số để chắc chắn có 2 số có tổng bằng 3000

\(A=\left(5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5\right)+...+\left(5^{2020}+5^{2021}\right)\\ =5^2.\left(1+5\right)+5^4.\left(1+5\right)+...+5^{2020}.\left(1+5\right)\\ =5^2.6+5^4.6+...+5^{2020}.6\\ =6.\left(5^2+5^4+...+5^{2020}\right)⋮6\)

 Ta nhận thấy một số có tận cùng là \(x\) thì khi lũy thừa lên mũ \(4k+1\left(k\inℕ\right)\) thì số nhận được cũng sẽ có tận cùng là \(x\). (*)

 Thật vậy, giả sử \(N=\overline{a_0a_1a_2...a_n}\). Khi đó \(N^{4k+1}=\left(\overline{a_0a_1a_2...a_n}\right)^{4k+1}\) \(=\left(\overline{a_0a_1a_2...a_{n-1}0}+a_n\right)^{4k+1}\) \(=a_n^{4k+1}\) nên ta chỉ cần xét số dư của các số từ 0 đến 9 lũy thừa với số mũ \(4k+1\).

 Dễ nhận thấy nếu \(a_n\in\left\{0,1,5,6\right\}\) thì \(a_n^{4k+1}\) sẽ có chữ số tận cùng là \(a_n\).

 Nếu \(a_n\in\left\{3,7,9\right\}\) thì để ý rằng \(3^4=9^2=81;7^4=2401\) đều có tận cùng là 1 nên hiển nhiên \(a_n^{4k}=\left(a_n^4\right)^k\) có tận cùng là 1. Do đó nếu nhân thêm \(a_n\) thì \(a_n^{4k+1}\) có chữ số tận cùng là \(a_n\).

 Nếu \(a_n\in\left\{2,4,8\right\}\) thì do \(2^4=16;4^4=256;8^4=4096\) đều có chữ số tận cùng là 6 \(\Rightarrow a_n^{4k}\) có chữ số tận cùng là 6. Khi nhân thêm \(a_n\) vào thì bộ \(\left(a_n;a_n^{4k+1}\right)\) sẽ là \(\left(2;2\right);\left(4;4\right);\left(8;8\right)\). 

 Vậy (*) đã được chứng minh.

 \(\Rightarrow\) S có chữ số tận cùng là \(2+3+4+...+4\) (tới đây bạn chỉ cần đếm xem có bao nhiêu trong mỗi chữ số từ 0 đến 9 xuất hiện trong tổng trên là xong nhé)

\(a_n^{4k}\)

    13¹²⁴

=  (13⁴)³¹

= \(\overline{...1}\)³¹

= \(\overline{..1}\)

15¹²⁵

= \(\overline{..5}\)

\(B=\dfrac{6^{10}\cdot3-4^4\cdot9^5\cdot84}{2^{13}\cdot3^{10}+12^5\cdot4\cdot3^6}\)

\(B=\dfrac{3^{10}\cdot2^{10}\cdot3-\left(2^2\right)^4\cdot\left(3^2\right)^5\cdot2^2\cdot21}{2^{13}\cdot3^{10}+3^5\cdot4^5\cdot4\cdot3^6}\)

\(B=\dfrac{3^{11}\cdot2^{10}-2^8\cdot3^{10}\cdot2^2\cdot3\cdot7}{2^{13}\cdot3^{10}+3^{11}\cdot2^{12}}\)

\(B=\dfrac{3^{11}\cdot2^{10}-2^{10}\cdot3^{11}\cdot7}{2^{13}\cdot3^{10}+3^{11}\cdot2^{12}}\)

\(B=\dfrac{3^{11}\cdot2^{10}\cdot\left(1-7\right)}{2^{12}\cdot3^{10}\cdot\left(2+3\right)}\)

\(B=\dfrac{2^{10}\cdot3\cdot-6}{2^{12}\cdot5}\)

\(B=\dfrac{3\cdot-6}{2^2\cdot5}\)

\(B=\dfrac{-18}{20}\)

\(B=-\dfrac{9}{10}\)

Lời giải:

$x^2-y+2x-xy=y-3$

$\Rightarrow (x^2+2x)-(2y+xy)=-3$

$\Rightarrow x(x+2)-y(x+2)=-3$

$\Rightarrow (x+2)(x-y)=-3$
Do $x,y$ là số nguyên nên $x+2, x-y$ nguyên. Do đó ta có các TH sau:

TH1: $x+2=1; x-y=-3\Rightarrow x=-1; y=2$

TH2: $x+2=-1; x-y=3\Rightarrow x=-3; y=6$

TH3: $x+2=3; x-y=-1\Rightarrow x=1; y=2$

TH4: $x+2=-3; x-y=1\Rightarrow x=-5; y=-6$

Lời giải:
** Điều kiện $n$ là số tự nhiên.

Ta có:

$11n+25\vdots 3n+4$

$\Rightarrow 3(11n+25)\vdots 3n+4$

$\Rightarrow 33n+75\vdots 3n+4$

$\Rightarrow 11(3n+4)+31\vdots 3n+4$

$\Rightarrow 31\vdots 3n+4$

$\Rightarrow 3n+4\in \left\{1; 31\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{-1; 9\right\}$

Mà $n$ là stn nên $n=9$.

a, -7

b, -10

c, 11

d,1

Lời giải:
a. $=9+5-21=14-21=-7$

b. $=2-12=-10$

c. $=8-(-3)=8+3=11$

d. $=(-4)-(-5)=-4+5=1$

Lời giải:
Ta có:

$p+1=1+2+....+n=n(n+1):2$

$\Rightarrow 2p+2=n(n+1)$

$\Rightarrow 2p=n(n+1)-2=n^2+n-2=(n-1)(n+2)$

Vì $p$ là số nguyên tố nên ta có các TH sau:

TH1: $n-1=2; n+2=p\Rightarrow n=3; p=5$ (chọn)

TH2: $n-1=p; n+2=2\Rightarrow n=0; p=-1$ (loại) 

TH3: $n-1=1; n+2=2p\Rightarrow n=2; p=2$ (chọn) 

TH4: $n-1=2p, n+2=1\Rightarrow n=-1$ (loại) 

Vậy.........

Lời giải:

Gọi 2 số cần tìm là $a,b$. Vì $ƯCLN(a,b)=12$ nên đặt $a=12x, b=12y$ với $x,y$ là stn, $(x,y)=1$.

Ta có:
$a+b=144$

$\Rightarrow 12x+12y=144$

$\Rightarrow x+y=144:12=12$

Mà $(x,y)=1$ nên $(x,y)$ có thể nhận giá trị: $(x,y)=(1,11), (5,7), (7,5), (11,1)$

$\Rightarrow (a,b)=(12, 132), (60, 84), (84,60), (132,12)$