a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC

c: Xét ΔOBA vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BAO}=30^0\)

Ta có: AO là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=60^0\)

Ta có: ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(BA=R\sqrt{3}\)

Xét ΔBAC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)

nên ΔBAC đều

=>\(S_{BAC}=\dfrac{BA^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3R^2\cdot\sqrt{3}}{4}\)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD tại C

Ta có: BC\(\perp\)CD

OA\(\perp\)BC

Do đó: OA//CD

b: Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE\(\perp\)ED tại E

=>BE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(3\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

=>\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

Xét ΔAEH và ΔAOD có

\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH đồng dạng với ΔAOD

=>\(\widehat{AHE}=\widehat{ADO}\)

c: Xét ΔOBA vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BAO}=30^0\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=60^0\)

Xét ΔOBA vuông tại B có \(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2+2^2=4^2\)

=>\(BA^2=12\)

=>\(BA=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)

nên ΔBAC đều

=>\(S_{ABC}=\left(2\sqrt{3}\right)^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

 a) Ta có:

IA = IB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ I nằm trên đường trung trực của AB (1)

OA = OB (bán kính)

⇒ O nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OI là đường trung trực của AB

Mà H là giao điểm của AB và OI

⇒ H là trung điểm của AB

⇒ AH = AB : 2 = 24 : 2 = 12 (cm)

Do OI là đường trung trực của AB (cmt)

⇒ AH ⊥ OI

⇒ AH ⊥ HI

∆AHI vuông tại H

⇒ AI² = AH² + IH² (Pytago)

⇒ IH² = AI² - AH²

= 20² - 12²

= 256

⇒ IH = 16 (cm)

∆OAI vuông tại A có AH là đường cao

⇒ AH² = IH.OH

⇒ OH = AH² : IH

= 12² : 16

= 9 (cm)

b) Bán kính của (O) là đoạn OA

Ta có:

OI = OH + IH = 9 + 16 = 25 (cm)

∆OAI vuông tại A

⇒ OI² = IA² + OA² (Pytago)

OA² = OI² - IA²

= 25² - 20²

= 225

⇒ OA = 15 (cm)

Vậy bán kính OA = 15 cm

Để giải bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các định lý về tiếp tuyến và đường tròn. Dưới đây là cách giải từng phần của bài toán:

a) Để tính độ dài AH, IH và OH, chúng ta cần sử dụng định lý về tiếp tuyến và đường tròn.

Theo định lý tiếp tuyến, ta có:

AH^2 = AI * AB

AH^2 = 20cm * 24cm

AH^2 = 480cm^2

AH = √480cm ≈ 21.91cm

Theo định lý tiếp tuyến, ta cũng có:

IH^2 = IB * AB

IH^2 = 20cm * 24cm

IH^2 = 480cm^2

IH = √480cm ≈ 21.91cm

Để tính OH, chúng ta cần sử dụng định lý về trung điểm. Vì O là trung điểm của đoạn thẳng IH, nên ta có:

OH = 1/2 * IH

OH = 1/2 * 21.91cm

OH ≈ 10.96cm

Vậy, độ dài AH là khoảng 21.91cm, độ dài IH là khoảng 21.91cm và độ dài OH là khoảng 10.96cm.

b) Để tính bán kính (o), chúng ta có thể sử dụng định lý về đường tròn ngoại tiếp.

Theo định lý đường tròn ngoại tiếp, ta có:

R = AI = 20cm

Vậy, bán kính (o) là 20cm.

Câu V:

a: Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BD;AD^2=DH\cdot DB\)

=>\(\dfrac{AB^2}{AD^2}=\dfrac{BH\cdot BD}{DH\cdot DB}=\dfrac{BH}{DH}\)

=>\(\dfrac{BH}{DH}=\dfrac{CD^2}{BC^2}=\left(\dfrac{CD}{BC}\right)^2=\left(\dfrac{CD}{3CD}\right)^2=\dfrac{1}{9}\)

=>\(DH=9BH\)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HD\cdot HB\)

=>\(9\cdot BH\cdot BH=\left(3\sqrt{10}\right)^2=90\)

=>\(BH^2=10\)

=>\(BH=\sqrt{10}\left(cm\right)\)

=>\(DH=9\sqrt{10}\left(cm\right)\)

\(BD=BH+DH=10\sqrt{10}\left(cm\right)\)

Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BD;AD^2=DH\cdot BD\)

=>\(AB^2=\sqrt{10}\cdot10\sqrt{10}=100;AD^2=9\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=90\)

=>\(AB=10\left(cm\right);AD=3\sqrt{10}\left(cm\right)\)

Chu vi hình chữ nhật ABCD là:

\(C_{ABCD}=\left(AB+AD\right)\cdot2=\left(10+3\sqrt{2}\right)\cdot2\left(cm\right)\)

b: Xét ΔHAD có

M,I lần lượt là trung điểm của HD,HA

=>MI là đường trung bình của ΔHAD

=>MI//AD

Ta có: MI//AD

AB\(\perp\)AD

Do đó: MI\(\perp\)AB

Xét ΔMAB có

MI,AH là các đường cao

MI cắt AH tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔMAB

=>BI\(\perp\)AM

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x< >1\end{matrix}\right.\)

a: ĐKXĐ: x>=-2

\(\sqrt{4x+8}-\sqrt{9x+18}+3\sqrt{x+2}=4\)

=>\(\sqrt{4\left(x+2\right)}-\sqrt{9\left(x+2\right)}+3\sqrt{x+2}=4\)

=>\(2\sqrt{x+2}-3\sqrt{x+2}+3\sqrt{x+2}=4\)

=>\(2\sqrt{x+2}=4\)

=>\(\sqrt{x+2}=2\)

=>x+2=4

=>x=2(nhận)

Bài 6:

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\notin\left\{4;9\right\}\end{matrix}\right.\)

b: \(C=\left(1-\dfrac{x-3\sqrt{x}}{x-9}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{3+\sqrt{x}}-\dfrac{9-x}{x+\sqrt{x}-6}\right)\)

\(=\dfrac{x-9-x+3\sqrt{x}}{x-9}:\left(\dfrac{-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{x-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}-9}{x-9}:\left(\dfrac{-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}\right)\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\left(\dfrac{-\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}\right)\)

\(=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}:\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}\)

c: C=4

=>\(\sqrt{x}-2=\dfrac{3}{4}\)

=>\(\sqrt{x}=2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{4}\)

=>\(x=\left(\dfrac{11}{4}\right)^2=\dfrac{121}{16}\left(nhận\right)\)

Câu 5:

a: ĐKXĐ: x>=0 và x<>1

b: \(B=\left(\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(=\left(\dfrac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\cdot\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}\)

Sửa đề:

1) Xác định hàm số y = ax + b \(\left(a\ne0\right)\) biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

Giải

Do đồ thị hàm số cắt trục tung đại điểm có tung độ bằng 3 nên b = 3

\(\Rightarrow y=ax+3\)

Do đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên thay \(x=-2;y=0\) vào hàm số, ta có:

\(a.\left(-2\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow-2a=-3\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}\) (nhận)

Vậy hàm số cần xác định là \(y=\dfrac{3}{2}x+3\)

2)

a) Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ có dạng:

\(y=ax\left(a\ne0\right)\)

Do đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left(4;2\right)\) nên thay \(x=4;y=2\) vào hàm số ta có:

\(a.4=2\)

\(a=\dfrac{1}{2}\)

Vậy hệ số góc của đường thẳng cần tìm là \(\dfrac{1}{2}\)

b) Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng:

\(y=ax\left(a\ne0\right)\)

Do đường thẳng đi qua điểm \(B\left(-1;3\right)\) nên thay \(x=-1;y=3\) vào đường thẳng, ta có:

\(a.\left(-1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow a=-3\)

Vậy hệ số góc cần tìm là \(-3\)

a: Để (d)//y=2x-3 thì \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b\ne-3\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): y=2x+b

Thay x=1/2 và y=7/4 vào (d), ta được:

\(b+2\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{4}\)

=>b+1=7/4

=>b=3/4

Vậy (d): \(y=2x+\dfrac{3}{4}\)

b: Thay x=0 và y=3 vào (d), ta được:

\(a\cdot0+b=3\)

=>b=3

Vậy: (d): y=ax+3

Thay x=2 và y=1 vào (d), ta được:

\(2\cdot a+3=1\)

=>2a=-2

=>a=-1

Vậy: (d): y=-x+3

c: Thay x=2 và y=0 vào (d), ta được:

\(2\cdot a+b=0\)

=>2a+b=0(1)

Thay x=1 và y=2 vào (d), ta được:

\(a\cdot1+b=2\)

=>a+b=2(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=0\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a+b-a-b=0-2\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=2-a=2-\left(-2\right)=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): y=-2x+4

d: Thay x=0 và y=3 vào (d), ta được:

\(a\cdot0+b=3\)

=>b=3

Vậy: (d): y=ax+3

Thay x=2/3 và y=0 vào (d), ta được:

\(a\cdot\dfrac{2}{3}+3=0\)

=>\(a\cdot\dfrac{2}{3}=-3\)

=>\(a=-3:\dfrac{2}{3}=-\dfrac{9}{2}\)

Vậy: (d): \(y=-\dfrac{9}{2}x+3\)

e: Thay x=1 và y=2 vào (d), ta được:

\(a\cdot1+b=2\)

=>a+b=2(3)

Thay x=3 và y=6 vào (d), ta được:

\(3\cdot a+b=6\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a+b=6\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3a+b-a-b=6-2\\a+b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2a=4\\a+b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=0\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d): y=2x

f: Vì (d) có hệ số góc là 3 nên a=3

Vậy: (d): y=3x+b

Thay x=1 vào y=x+2, ta được:

\(y=1+2=3\)

Thay x=1 và y=3 vào (d), ta được:

\(b+3\cdot1=3\)

=>b=0

Vậy: (d): y=3x