a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

b: OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại D và D là trung điểm của BC

Xét ΔBOA vuông tại B có BD là đường cao

nên \(OD\cdot DA=BD^2\)

c: Sửa đề: \(OD\cdot OA=OG\cdot OH\)

Ta có: ΔOEF cân tại O

mà OG là đường trung tuyến

nên OG\(\perp\)EF tại G

Xét ΔOGA vuông tại G và ΔODH vuông tại D có

\(\widehat{GOA}\) chung

Do đó: ΔOGA đồng dạng với ΔODH

=>\(\dfrac{OG}{OD}=\dfrac{OA}{OH}\)

=>\(OG\cdot OH=OA\cdot OD\)

d: Xét ΔBOA vuông tại B có BD là đường cao

nên \(OD\cdot OA=OB^2=OE^2\)

=>\(OG\cdot OH=OE^2\)

=>\(\dfrac{OG}{OE}=\dfrac{OE}{OH}\)

Xét ΔOGE và ΔOEH có

\(\dfrac{OG}{OE}=\dfrac{OE}{OH}\)

\(\widehat{GOE}\) chung

Do đó: ΔOGE đồng dạng với ΔOEH

=>\(\widehat{OGE}=\widehat{OEH}=90^0\)

=>EH là tiếp tuyến của (O)

Bài 3:
a) \(\sqrt{3x-2}=4\)
⇔\(\sqrt{3x-2}=\sqrt{4^2}\)
⇔\(3x-2=4^2=16\)
    \(3x=16+2=18\)
    \(x=18:3=6\)
    Vậy \(x=6\)
b)\(\sqrt{4x^2+4x+1}-11=5\)
⇔\(\sqrt{\left(2x\right)^2+2\left(2x\right)\cdot1+1^2}-11=5\)
⇔\(\sqrt{\left(2x+1\right)^2}-11=5\)
TH1:
⇔\(\left(2x+1\right)-11=5\)
    \(2x+1=5+11=16\)
    \(2x=16-1=15\)
    \(x=15:2=7,5\)
TH2:
⇔\(\left(2x+1\right)-11=-5\)
    \(2x-1=-5+11=6\)
    \(2x=6+1=7\)
    \(x=7:2=3,5\)
    Vậy \(x=\left\{7,5;3,5\right\}\) 
    (Câu này mình không chắc chắn lắm)   
    (Học sinh lớp 6 đang làm bài này)    

Bài 4:

a: \(C=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\)

b: C-6<0

=>C<6

=>\(2\sqrt{x}< 6\)

=>\(\sqrt{x}< 3\)

=>0<=x<9

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0< x< 9\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

a: \(5\sqrt{8}-4\sqrt{27}-2\sqrt{75}+\sqrt{108}\)

\(=5\cdot2\sqrt{2}-4\cdot3\sqrt{3}-2\cdot5\sqrt{3}+6\sqrt{3}\)

\(=10\sqrt{2}-12\sqrt{3}-10\sqrt{3}+6\sqrt{3}\)

\(=10\sqrt{2}-16\sqrt{3}\)

b: \(\sqrt{\left(3-\sqrt{6}\right)^2}+\sqrt{\left(1-\sqrt{6}\right)^2}\)

\(=\left|3-\sqrt{6}\right|+\left|1-\sqrt{6}\right|\)

\(=3-\sqrt{6}+\sqrt{6}-1\)

=3-1=2

c: \(\dfrac{5\sqrt{3}-3\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4+\sqrt{15}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{15}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\dfrac{1\left(4-\sqrt{15}\right)}{16-15}\)

\(=\sqrt{15}+4-\sqrt{15}=4\)

d: \(\dfrac{2\sqrt{3-\sqrt{5}}\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt{5}}{\sqrt{12}+2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{5}}\cdot\sqrt{2}\left(3+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}+1\right)}{2\left(\sqrt{3}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\cdot\dfrac{\left(3+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

\(=3+\sqrt{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}=3+\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Bài 2:

Vẽ đồ thị:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x-4=-3x+3\)

=>\(\dfrac{1}{2}x+3x=3+4\)

=>\(\dfrac{7}{2}x=7\)

=>x=2

Thay x=2 vào y=-3x+3, ta được:

\(y=-3\cdot2+3=-3\)

Vậy: (d1) cắt (d2) tại A(2;-3)

Bạn kiểm tra lại xem đã viết đúng đề chưa vậy?

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=25\)

=>\(BC=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>\(AH=\dfrac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)

b: Ta có: ΔOAC cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM\(\perp\)AC tại M và OM là phân giác của \(\widehat{AOC}\)

Xét tứ giác AHOM có

\(\widehat{AHO}+\widehat{AMO}=90^0+90^0=180^0\)

=>AHOM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AO

=>A,H,M,O cùng thuộc đường tròn tâm I, đường kính AO

c: Xét ΔOCN và ΔOAN có

OC=OA(=R)

\(\widehat{CON}=\widehat{AON}\)(ON là phân giác của góc AOC)

ON chung

Do đó: ΔOCN=ΔOAN

=>\(\widehat{OCN}=\widehat{OAN}=90^0\)

=>NA\(\perp\)AO tại A

Xét (I) có

AO là đường kính

NA\(\perp\)AO tại A

Do đó: NA là tiếp tuyến của (I)

=>NA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔHMO

Xét (O) có

ΔEBC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔEBC vuông tại E

=>EB\(\perp\)EC

=>CE\(\perp\)AB

Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF\(\perp\)FC tại F

=>BF\(\perp\)AC tại F

Xét ΔAFB vuông tại F và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{BAF}\) chung

Do đó: ΔAFB đồng dạng với ΔAEC

=>\(\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AF\cdot AC=AB\cdot AE\)

Xét (O) có

ΔEBC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔEBC vuông tại E

=>EBEC

=>CEAB

Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BFFC tại F

=>BFAC tại F

Xét ΔAFB vuông tại F và ΔAEC vuông tại E có

 chung

Do đó: ΔAFB đồng dạng với ΔAEC

=>

=>

ĐKXĐ: x>=0

\(\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}}< \dfrac{1}{2}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}>=0\\\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-2>=0\\\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{4}< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}>=2\\\dfrac{4\left(\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}-1}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=4\\4\sqrt{x}-8-\sqrt{x}-1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=4\\3\sqrt{x}< 9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=4\\\sqrt{x}< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow4< =x< 9\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(HB\cdot2,5=5^2=25\)

=>HB=25/2,5=10(cm)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có \(tanB=\dfrac{AH}{HB}\)

=>\(tanB=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)